Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите $AC$, если диаметр окружности равен $3{,}6$, а $AB = 8$.
- 1
Обозначим центр окружности через $O$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB \perp AB$ и треугольник $AOB$ прямоугольный.$$OB = \dfrac{3{,}6}{2} = 1{,}8$$
- 2
По теореме Пифагора найдём длину $AO$:$$AO^2 = AB^2 + OB^2 = 8^2 + 1{,}8^2 = 64 + 3{,}24 = 67{,}24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 44$ и $CD = 8$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной…
- 1
Обозначим через $2x$ и $2y$ величины меньших дуг $AB$ и $CD$ соответственно. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами,$$\angle AKB=\frac{1}{2}(2x+2y)=x+y$$
- 2
Так как $\angle AKB=60^\circ$, получаем:$$x+y=60^\circ$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $4$ и $15$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$…
- 1
Введём координаты: $A(0;0)$, $C$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Тогда $M(4;0)$ и $N(15;0)$. Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $\dfrac{4+15}{2}=\dfrac{19}{2}$, поэтому центр окружности имеет координаты…$$R^2=\left(\dfrac{19}{2}-4\right)^2+k^2=\dfrac{121}{4}+k^2$$
- 2
Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac{1}{4}$. Направляющий вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4};\dfrac14\right)$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ должно быть равно…$$\left(\dfrac{19}{8}-\dfrac{k\sqrt{15}}{4}\right)^2=\dfrac{121}{4}+k^2$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$. Известно, что $AD = 49$, $MD = 42$. Точка $H$ — точка пересечения…
- 1
Расположим начало координат в точке $D$, ось $Ox$ направим вдоль $BC$, а ось $Oy$ — вдоль $DA$. Тогда $A=(0,49)$, а точка $M=(0,42)$, поскольку $MD=42$.
- 2
Пусть $B=(u,0)$, $C=(v,0)$. Уравнение окружности, построенной на отрезке $BC$ как на диаметре, имеет вид $x^2+y^2-(u+v)x+uv=0$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 28$, $AC = 56$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$…
- 1
Поскольку $O$ — центр описанной окружности, имеем $OA = OB = OC$. Из равенства $OA^2 = OB^2$ получаем$$OA^2 = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})^2 \Rightarrow 2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2 = 0$$
- 2
Аналогично из равенства $OA^2 = OC^2$ следует$$2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2 = 0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите $AC$, если диаметр окружности равен $6{,}4$, а $AB = 6$.
- 1
Обозначим центр окружности через $O$. Радиус окружности равен половине диаметра:$$OC = OB = \frac{6{,}4}{2} = 3{,}2$$
- 2
Радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$OB \perp AB$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 11$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $3$.
- 1
Обозначим через $\alpha$ угол $DAB$, а через $h$ — высоту параллелограмма, проведённую к стороне $AB$. Тогда $h = BC \sin \alpha$.
- 2
Биссектриса угла $A$ образует с прямой $AB$ угол $\dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $B$ образует с прямой $AB$ угол $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$. Из условия пересечения этих биссектрис следует, что точка $K$ находится на половине…
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $5$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Расположим трапецию в координатной плоскости: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $C=(x,h)$, $B=(x+1,h)$. Тогда $AD=a$, $BC=1$, а $h$ — высота трапеции.$$CD^2=x^2+h^2=25$$
- 2
Так как $AB=4$, получаем второе равенство для боковых сторон:$$(x+1-a)^2+h^2=16$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 45$, $MD = 15$. $H$ — точка пересечения высот треугольника…
- 1
Расположим координатные оси так, чтобы точка $D$ была началом координат, сторона $BC$ лежала на оси $Ox$, а высота $AD$ — на оси $Oy$. Тогда $A=(0,45)$, $M=(0,15)$, а точки $B$ и $C$ имеют координаты $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$.
- 2
Уравнение окружности, диаметр которой имеет концы $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$, имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$.$$x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…
- 1
Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=33+99=132$$
- 2
Проведём радиусы $O_1A$ и $O_2C$. Они перпендикулярны общей касательной $AC$, поэтому треугольник, образованный линией центров и радиусами к касательной, является прямоугольным. Разность радиусов равна:$$O_2C-O_1A=99-33=66$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 6$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $6$.
- 1
Обозначим $AB=b$, а угол $DAB$ — через $\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC=AD=6$.
- 2
Рассмотрим биссектрису угла $A$. В треугольнике, образованном этой биссектрисой и сторонами параллелограмма, расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ выражается формулой$$h_K=\frac{AB\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{b\sin\alpha}{2}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 14$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $110^\circ$ и…
- 1
Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через $A$, $B$, $C$ и $D$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.$$AD = 2R$$
- 2
По теореме о вписанном угле угол $ABD$, опирающийся на диаметр $AD$, равен $90^\circ$. Поэтому угол $CBD$ равен разности углов $ABC$ и $ABD$.$$\angle CBD = 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в…
- 1
Обозначим радиусы окружностей с центрами $I$ и $J$ через $r_1$ и $r_2$. Пусть внутренняя общая касательная пересекает отрезок $IJ$ в точке $K$.
- 2
Проведём из точек $I$ и $J$ перпендикуляры к общей касательной. Их длины равны радиусам соответствующих окружностей, поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$IA=r_1,\quad JB=r_2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…
- 1
Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=25+100=125$$
- 2
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общим касательным. Поэтому хорды $AB$ и $CD$, соединяющие пары точек касания, перпендикулярны линии центров и параллельны друг другу.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Используя материал, определите, какой высоты нужен шрифт в пунктах, чтобы текст был расположен на листе формата А5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата…
- 1
При переходе от формата А4 к формату А5 площадь листа уменьшается в 2 раза. Так как форматы подобных листов сохраняют пропорции, каждый линейный размер уменьшается в $\sqrt{2}$ раза.$$k = \sqrt{2}$$
- 2
Высота шрифта должна уменьшиться во столько же раз:$$h = \dfrac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Диагональ ромба равна 20, а другая диагональ равна 2. Найдите площадь ромба.
- 1
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
- 2
Подставим длины диагоналей.$$S = \dfrac{20 \cdot 2}{2} = 20$$
Используя план сельской местности из общего материала, найдите расстояние от Доломино до Ванютино по шоссе. Ответ дайте в километрах.
- 1
По плану определяем расположение Доломино и Ванютино и рассматриваем соответствующий участок шоссе.
- 2
Используя размеры сторон прямоугольного треугольника, указанные на плане, вычисляем искомое расстояние по теореме Пифагора.$$d = 8$$
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 14$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $7$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — радиус окружности, один катет — расстояние от центра до хорды $AB$, а другой катет равен половине хорды $AB$.$$R^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 2$, $AC = 8$.
- 1
Обозначим центр окружности через $O$, а её радиус — через $r$. Так как окружность проходит через точки $B$ и $C$, то $OB = OC = r$.
- 2
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB \perp AB$. Следовательно, треугольник $AOB$ прямоугольный.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 81$, $MD = 9$. $H$ — точка пересечения высот треугольника…
- 1
Так как $AD=81$ и $MD=9$, то $AM=81-9=72$. Введём координаты: $D=(0,0)$, $A=(0,81)$, $M=(0,72)$, $B=(b,0)$, $C=(c,0)$.
- 2
Уравнение окружности с диаметром $BC$ имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$. Точка $M=(0,72)$ лежит на этой окружности, поэтому$$72^2+bc=0,\qquad bc=-5184$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде