Решение: Общие касательные окружностей
Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m:n$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m:n$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим радиусы окружностей с центрами $I$ и $J$ через $r_1$ и $r_2$. Пусть внутренняя общая касательная пересекает отрезок $IJ$ в точке $K$.
Проведём из точек $I$ и $J$ перпендикуляры к общей касательной. Их длины равны радиусам соответствующих окружностей, поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
$$IA=r_1,\quad JB=r_2$$Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные отрезками $IK$ и $JK$ и перпендикулярами к касательной. У них один острый угол общий или равный как углы, образованные одной и той же прямой $IJ$ с касательной. Следовательно, эти треугольники подобны.
Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз, то есть отношение радиусов равно отношению частей отрезка $IJ$.
$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{IK}{KJ}=\frac{m}{n}$$Диаметр каждой окружности в два раза больше её радиуса, поэтому умножение обоих радиусов на одно и то же число 2 не изменяет их отношение.
$$\frac{d_1}{d_2}=\frac{2r_1}{2r_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{m}{n}$$Отношение диаметров окружностей равно отношению частей, на которые внутренняя общая касательная делит отрезок между центрами: $d_1:d_2=m:n$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать внешнюю общую касательную вместо внутренней.
Забыть обосновать, что отрезки от центров до точек касания равны радиусам.
Сделать вывод об отношении диаметров без объяснения связи диаметров и радиусов.
Перепутать соответствующие стороны подобных прямоугольных треугольников.