Решение: Расстояние между хордами касания
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=25+100=125$$Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общим касательным. Поэтому хорды $AB$ и $CD$, соединяющие пары точек касания, перпендикулярны линии центров и параллельны друг другу.
Пусть угол между линией центров $O_1O_2$ и одной из общих касательных равен $\alpha$. Разность радиусов равна $100-25=75$ и является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой $O_1O_2$:
$$\sin\alpha=\frac{100-25}{125}=\frac{3}{5}$$Проекция отрезка $O_1O_2$ на линию центров между параллельными хордами равна сумме расстояния между центрами и проекции разности радиусов:
$$h=125+75\sin\alpha=125+75\cdot\frac{3}{5}=125+45=170$$Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $170$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность радиусов вместо расстояния между центрами.
Считают, что расстояние между прямыми равно только расстоянию между центрами.
Не учитывают, что хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров и параллельны друг другу.