Решение: Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 81$, $MD = 9$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $AD=81$ и $MD=9$, то $AM=81-9=72$. Введём координаты: $D=(0,0)$, $A=(0,81)$, $M=(0,72)$, $B=(b,0)$, $C=(c,0)$.
Уравнение окружности с диаметром $BC$ имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$. Точка $M=(0,72)$ лежит на этой окружности, поэтому
$$72^2+bc=0,\qquad bc=-5184$$Угол $BMC$ прямой, что также согласуется с тем, что $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$. Найдём координату точки пересечения высоты из $B$ с прямой $AD$.
Угол наклона прямой $AC$ задаётся коэффициентом $-81/c$, поэтому высота из $B$ имеет коэффициент наклона $c/81$. При $x=0$ она пересекает $AD$ в точке $H$, для которой
$$y_H=\frac{c}{81}(0-b)=-\frac{bc}{81}=\frac{5184}{81}=64$$Следовательно, $H=(0,64)$, а точка $A$ имеет координату $y=81$. Поэтому
$$AH=81-64=17$$17
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют $MD=9$ вместо $AM=AD-MD=72$.
Ошибочно считают, что точка $M$ является серединой высоты $AD$.
Не учитывают, что высота из $B$ перпендикулярна стороне $AC$.