Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=3x+a \end{cases} \] имеет ровно два различных решения.
- 1
Если произведение $(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}$ равно нулю, то в силу существования квадратного корня необходимо и достаточно, чтобы $xy-2x+12=0$ и $y-2x+12\geqslant 0$.
- 2
Подставим $y=3x+a$ в уравнение $xy-2x+12=0$:$$x(3x+a)-2x+12=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2+(a-2)x+12=0$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=ax-10 \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из равенства произведения нулю получаем два случая: $y-2x+12=0$ или $xy-2x+12=0$, причём во втором случае необходимо условие $y-2x+12\ge 0$.$$(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0$$
- 2
В первом случае $y=2x-12$. С учётом уравнения прямой получаем $(a-2)x=-2$. Поэтому при $a\ne2$ имеется одно решение, а при $a=2$ решений в этом случае нет.$$ax-10=2x-12$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases}x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x|\end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из первого уравнения системы получаем $y=a-x$. Тогда$$|a-x|=|x^2-2x|$$
- 2
Равенство модулей равносильно совокупности двух уравнений:$$a-x=x^2-2x \quad \text{или} \quad a-x=-x^2+2x$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} |x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4} \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из второго уравнения следует $y\geqslant 0$ и $x=y^2-4$. Подставим это выражение в первое уравнение:$$|y^2-4|+y=a$$
- 2
На отрезке $0\leqslant y\leqslant 2$ выражение $y^2-4$ неположительно, поэтому$$a=4+y-y^2$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{7x-4}\cdot\ln\left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$ имеет на отрезке $[0;4]$ ровно один корень.
- 1
Рассмотрим область допустимых значений уравнения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7x-4\ge 0$, поэтому $x\ge\frac{4}{7}$. С учётом заданного отрезка рассматриваются значения $x\in\left[\frac{4}{7};4\right]$.$$7x-4\ge 0$$
- 2
Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель. Первый множитель равен нулю при $x=\frac{4}{7}$.$$\sqrt{7x-4}=0\iff x=\frac{4}{7}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} ax \ge 2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le 2a+11 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.
- 1
Так как $x\in[3;4]$, переменная $x$ положительна. Первое неравенство равносильно условию $a\ge\dfrac{2}{x}$, второе — условию $a<\sqrt{x-1}$, а третье — условию $a\ge\dfrac{3x-11}{2}$.
- 2
Сравним нижние границы. Разность соответствующих выражений определяется неравенством$$\frac{2}{x}\ge\frac{3x-11}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\ge 3x^2-11x\quad\Longleftrightarrow\quad (x-4)(3x+1)\le0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$ имеет ровно три решения.
- 1
Так как левая часть уравнения неотрицательна, необходимо потребовать неотрицательность правой части. После возведения в квадрат получаем:$$x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2$$
- 2
Раскрываем скобки и переносим все слагаемые в одну часть:$$8x^3+(32-16a)x^2-64ax=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2$ имеет единственное решение на отрезке $[0; 1]$.
- 1
Сначала учтём область определения: для решения должно выполняться $x+a>0$.
- 2
Преобразуем уравнение с помощью разности квадратов:$$(x+\ln(x+a))^2-(x-\ln(x+a))^2=4x\ln(x+a)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные:$$ax^4+(a-2)x^3+(a^3-a-2)x^2+(a^3-2a^2-a+2)x-2a^2+2=0$$
- 2
Получившийся многочлен раскладывается на множители:$$ax^4+(a-2)x^3+(a^3-a-2)x^2+(a^3-2a^2-a+2)x-2a^2+2=(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
- 1
В условии указано требование найти значения параметра, при которых система имеет ровно два различных решения.
- 2
Однако формулы системы уравнений не распознаны и отсутствуют на предоставленном изображении. Поэтому невозможно построить графики, преобразовать систему или определить число решений.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$ \begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases} $$ имеет единственное решение.
- 1
Из второго уравнения системы следует, что точка $(x,y)$ лежит на единичной окружности. Обозначим $t=|x|$, тогда $0\le t\le 1$ и $y=\pm\sqrt{1-t^2}$.
- 2
Поскольку первое уравнение зависит от $x$ только через $|x|$ и $x^2$, вместе с решением $(x,y)$ при $x\ne0$ автоматически существует решение $(-x,y)$. Поэтому единственное решение возможно только при $x=0$.
Ещё 7 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$ на отрезке $[0;1]$ имеет ровно один корень.
- 1
Оба выражения являются квадратными корнями. Поэтому исходное уравнение равносильно системе: подкоренные выражения равны и оба неотрицательны.$$\begin{cases}x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,\\x^2-a^2\geq 0.\end{cases}$$
- 2
Из равенства подкоренных выражений получаем квадратное уравнение относительно $x$.$$3x^2-(4a+2)x+a^2+2a=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(5x - 2)\cdot\ln(x+a)=(5x-2)\cdot\ln(2x-a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Сначала выпишем область определения уравнения:$$x+a>0,\quad 2x-a>0$$
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях. Первый случай:$$5x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac25$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Область определения квадратного корня требует $x\geq\frac12$. При $x=\frac12$ множитель перед логарифмами равен нулю, поэтому равенство выполняется при условии существования обоих логарифмов:$$4\cdot\frac12-a>0,\quad 5\cdot\frac12+a>0$$
- 2
Следовательно, $x=\frac12$ является корнем при $-\frac52<a<2$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Рассмотрим область определения уравнения. Необходимо $4x-1\ge 0$, поэтому $x\ge\frac14$. Кроме того, аргумент логарифма должен быть положительным.$$x\in\left[\frac14;1\right],\qquad x^2-2x+2-a^2>0$$
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях: либо первый множитель равен нулю, либо логарифм равен нулю.$$\sqrt{4x-1}=0\quad\text{или}\quad\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2-3x}\cdot\ln(16x^2-a^2)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln(4x+a)$ имеет ровно один корень.
- 1
Область определения уравнения задаётся условиями $2-3x\ge 0$, $16x^2-a^2>0$ и $4x+a>0$.
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях: либо $\sqrt{2-3x}=0$, либо равны логарифмы.
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} x+ay+a-2=0,\\ x|y|+x-2=0 \end{cases} $$ имеет единственное решение.
- 1
Из второго уравнения системы получаем:$$x(|y|+1)=2,\qquad x=\dfrac{2}{|y|+1}$$
- 2
Рассмотрим случай $y\ge 0$. Обозначим $t=y+1$, тогда $t\ge 1$ и $x=\dfrac{2}{t}$. Подставляя это в первое уравнение, получаем:$$\dfrac{2}{t}+at+a-2=0,\qquad a=\dfrac{2(t-1)}{t^2}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\left(3x+|x-a|+|2x+a+1|\right)^2-a\left(3x+|x-a|+|2x+a+1|\right)+a^2-16=0$ имеет ровно один корень.
- 1
Введём обозначение $t=3x+|x-a|+|2x+a+1|$. Тогда исходное уравнение принимает вид$$t^2-at+a^2-16=0$$
- 2
Исследуем зависимость $t$ от $x$. При $x\leq a$ и $x\leq\dfrac{-a-1}{2}$ имеем$$t=3x+(a-x)+(-2x-a-1)=-1$$
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} a(x-1) \ge 4,\\ 2\sqrt{x-2} \ge a,\\ 3x < a+14 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
- 1
На отрезке $[4;5]$ имеем $x-1>0$, поэтому первое неравенство равносильно условию$$a \ge \frac{4}{x-1}$$
- 2
Остальные неравенства задают ограничения$$a \le 2\sqrt{x-2},\qquad a>3x-14$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Сгруппируем слагаемые и разложим многочлен по множителю $x-2$:$$(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=(x-2)\left(x^3+(a+2)x^2+ax+2a(a+1)\right)$$
- 2
Следовательно, $x=2$ является корнем при любом $a$. Обозначим кубический множитель через $Q_a(x)$.$$Q_a(x)=x^3+(a+2)x^2+ax+2a(a+1)$$
Ещё 3 шага — в полном решении