Решение: Система с модулем и параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
x+ay+a-2=0,\\
x|y|+x-2=0
\end{cases}
$$ имеет единственное решение.
Решение по шагам
6 шаговИз второго уравнения системы получаем:
$$x(|y|+1)=2,\qquad x=\dfrac{2}{|y|+1}$$Рассмотрим случай $y\ge 0$. Обозначим $t=y+1$, тогда $t\ge 1$ и $x=\dfrac{2}{t}$. Подставляя это в первое уравнение, получаем:
$$\dfrac{2}{t}+at+a-2=0,\qquad a=\dfrac{2(t-1)}{t^2}$$Функция $a(t)=\dfrac{2(t-1)}{t^2}$ на промежутке $t\ge 1$ возрастает до $t=2$, а затем убывает. При этом $a(1)=0$ и $a(2)=\dfrac12$. Поэтому на ветви $y\ge 0$ имеется одно решение при $a=0$ и при $a=\dfrac12$, два решения при $0<a<\dfrac12$ и нет решений при $a<0$ или $a>\dfrac12$.
Рассмотрим случай $y<0$. Обозначим $s=1-y$, тогда $s>1$, $|y|+1=s$ и $x=\dfrac{2}{s}$. После подстановки получаем:
$$\dfrac{2}{s}+as+2a-2=0,\qquad a=-\dfrac{2(s-1)}{s(s-2)}$$При $1<s<2$ правая часть принимает каждое положительное значение ровно один раз. При $s>2$ она принимает каждое отрицательное значение ровно один раз. Значение $a=0$ на этой ветви не достигается. Следовательно, при каждом $a\ne 0$ существует ровно одно решение с $y<0$.
Суммируем число решений на обеих ветвях. При $a<0$ есть одно решение на ветви $y<0$. При $a=0$ есть одно решение на ветви $y\ge 0$. При $0<a<\dfrac12$ всего три решения, при $a=\dfrac12$ два решения, а при $a>\dfrac12$ — одно решение на ветви $y<0$.
Система имеет единственное решение при $a\in(-\infty;0]\cup\left(\dfrac12;+\infty\right)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не рассматривать отдельно случаи $y\ge 0$ и $y<0$.
Забыть, что при $y=0$ используется ветвь $y\ge 0$.
Не учесть количество решений на обеих ветвях при $0<a\le\dfrac12$.
Ошибочно включить значение $a=\dfrac12$ в ответ.