Система с модулем и параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
x+ay+a-2=0,\\
x|y|+x-2=0
\end{cases}
$$ имеет единственное решение.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Из второго уравнения выразите $x$ через $|y|$, а затем рассмотрите отдельно случаи $y\ge 0$ и $y<0$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При $y\ge 0$ положите $t=y+1$, тогда $t\ge 1$ и $a=\dfrac{2(t-1)}{t^2}$. При $y<0$ положите $s=1-y$, тогда $s>1$ и $a=-\dfrac{2(s-1)}{s(s-2)}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
На ветви $y\ge 0$ два решения возникают при $0<a<\dfrac12$, одно решение при $a=0$ и $a=\dfrac12$, а при $a>\dfrac12$ решений нет. На ветви $y<0$ имеется ровно одно решение при каждом $a\ne 0$.