Решение: Параметр в уравнении четвёртой степени
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
8 шаговПеренесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные:
$$ax^4+(a-2)x^3+(a^3-a-2)x^2+(a^3-2a^2-a+2)x-2a^2+2=0$$Получившийся многочлен раскладывается на множители:
$$ax^4+(a-2)x^3+(a^3-a-2)x^2+(a^3-2a^2-a+2)x-2a^2+2=(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)$$Следовательно, корни задаются равенствами $x=-1$, $ax-2=0$ и $x^2+a^2-1=0$.
При $a\ne0$ второй множитель даёт корень $x=2/a$. Квадратный множитель имеет действительные корни $x=\pm\sqrt{1-a^2}$ при $|a|\le1$.
Если $0<|a|<1$, то корни $-1$, $2/a$, $\sqrt{1-a^2}$ и $-\sqrt{1-a^2}$ попарно различны, поэтому таких значений параметра нет.
При $a=1$ корни равны $-1$, $2$, $0$, а при $a=-1$ корни равны $-1$, $-2$, $0$. В обоих случаях корней три.
При $|a|>1$ квадратный множитель действительных корней не имеет. Остаются корни $-1$ и $2/a$. Они совпадают только при $2/a=-1$, то есть при $a=-2$. Поэтому подходят все значения $|a|>1$, кроме $a=-2$.
При $a=0$ уравнение после разложения имеет вид $(x+1)(-2)(x^2-1)=0$, поэтому его различные корни: $x=-1$ и $x=1$. Значение $a=0$ подходит.
$a\in(-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(1,+\infty)\cup\{0\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать случай $a=0$, при котором множитель $ax-2$ не задаёт линейный корень.
Считать совпадающие корни разными.
Включить значение $a=-2$: при нём корни $-1$ и $2/a$ совпадают.
Забыть отдельно проверить случаи $a=1$ и $a=-1$.