Решение: Уравнение с параметром на отрезке
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Решение по шагам
6 шаговРассмотрим область определения уравнения. Необходимо $4x-1\ge 0$, поэтому $x\ge\frac14$. Кроме того, аргумент логарифма должен быть положительным.
$$x\in\left[\frac14;1\right],\qquad x^2-2x+2-a^2>0$$Произведение равно нулю в двух случаях: либо первый множитель равен нулю, либо логарифм равен нулю.
$$\sqrt{4x-1}=0\quad\text{или}\quad\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$$Из первого случая получаем $x=\frac14$. Этот корень допустим, если аргумент логарифма положителен.
$$\left(\frac14\right)^2-2\cdot\frac14+2-a^2=\frac{25}{16}-a^2>0\quad\Longleftrightarrow\quad |a|<\frac54$$Из второго случая следует, что аргумент логарифма равен единице.
$$x^2-2x+2-a^2=1\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2=a^2$$Отсюда $x=1+a$ или $x=1-a$. На отрезке $\left[\frac14;1\right]$ при $a\ne0$ один из этих корней принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда $|a|\le\frac34$. При $|a|=\frac34$ этот корень совпадает с $x=\frac14$.
Если $|a|<\frac34$, имеются два различных корня: $x=\frac14$ и один из корней $x=1\pm a$. При $|a|=\frac34$ они совпадают, поэтому корень ровно один. При $\frac34<|a|<\frac54$ остаётся только корень $x=\frac14$. При $|a|\ge\frac54$ корня $x=\frac14$ нет, а корни $x=1\pm a$ на рассматриваемом отрезке отсутствуют.
\[\boxed{\frac34\le |a|<\frac54}\]
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения логарифма при проверке корня $x=\frac14$.
Считать совпадающие корни $x=\frac14$ и $x=1\pm a$ двумя корнями.
Забывать проверить принадлежность корней отрезку $\left[0;1\right]$.