Решение: Параметр и число корней
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
5 шаговСгруппируем слагаемые и разложим многочлен по множителю $x-2$:
$$(x-2)a^2+(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=(x-2)\left(x^3+(a+2)x^2+ax+2a(a+1)\right)$$Следовательно, $x=2$ является корнем при любом $a$. Обозначим кубический множитель через $Q_a(x)$.
$$Q_a(x)=x^3+(a+2)x^2+ax+2a(a+1)$$Значение $x=2$ является корнем кубического множителя только при $a=-2$, однако при $a=-2$ имеем $Q_{-2}(x)=(x-2)(x^2+2x-2)$, поэтому исходное уравнение имеет три различных корня. Значение $a=-2$ не подходит.
Дискриминант кубического многочлена равен:
$$\Delta(a)=-a\left(8a^4+127a^3+252a^2+192a+64\right)$$Кубический многочлен имеет ровно один различный действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен. При этом случай $a=-2$ уже исключён.
$$\Delta(a)\leq 0\iff a\left(8a^4+127a^3+252a^2+192a+64\right)\geq 0$$Все значения $a$, удовлетворяющие неравенству $a\left(8a^4+127a^3+252a^2+192a+64\right)\geq 0$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не вынести общий множитель $x-2$.
Считать корень $x=2$ корнем кубического множителя при любом $a$.
Использовать условие только $\Delta<0$ и потерять случаи $\Delta=0$, когда кубический многочлен имеет два совпадающих корня.
Не исключить значение $a=-2$, при котором исходное уравнение имеет три различных корня.