Система неравенств с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
\[
\begin{cases}
a(x-1) \ge 4,\\
2\sqrt{x-2} \ge a,\\
3x < a+14
\end{cases}
\]
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите систему при фиксированном $x \in [4;5]$ и выразите ограничения на параметр $a$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $x-1>0$, первое неравенство даёт $a \ge \dfrac{4}{x-1}$, второе — $a \le 2\sqrt{x-2}$, а третье — $a>3x-14$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
На отрезке $[4;5]$ выполняется $\dfrac{4}{x-1} \ge 3x-14$. Поэтому достаточно исследовать совместность условий $\dfrac{4}{x-1} \le a \le 2\sqrt{x-2}$ и учесть строгость третьего неравенства при $x=5$.