Решение: Уравнение с параметром на отрезке
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2$ имеет единственное решение на отрезке $[0; 1]$.
Решение по шагам
6 шаговСначала учтём область определения: для решения должно выполняться $x+a>0$.
Преобразуем уравнение с помощью разности квадратов:
$$(x+\ln(x+a))^2-(x-\ln(x+a))^2=4x\ln(x+a)=0$$Следовательно, возможны два случая:
$$x=0 \quad\text{или}\quad \ln(x+a)=0$$Из второго случая получаем:
$$x+a=1,\qquad x=1-a$$Если $a<0$, точка $x=0$ не входит в область определения, а $x=1-a>1$, поэтому решений на отрезке нет. При $a=0$ единственным решением является $x=1$.
При $a>0$ точка $x=0$ является решением. Второе решение $x=1-a$ принадлежит отрезку $[0;1]$ при $0<a\leq1$. При $a=1$ оно совпадает с $x=0$, поэтому решение единственное. При $a>1$ второе решение отрицательно и не принадлежит отрезку.
a\in\{0\}\cup[1; +\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения логарифма при $a\leq0$.
Считать точки $x=0$ и $x=1-a$ разными решениями при $a=1$.
Потерять случай $a=0$, поскольку при $x=0$ логарифм не определён.