Решение: Четыре корня уравнения
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $a^2-ax-2x^2-6a+3x+9|x|=0$ имеет четыре различных корня.
Решение по шагам
8 шаговРазобьём уравнение на два случая в зависимости от знака $x$.
$$x\geqslant 0:\quad 2x^2+(a-12)x-a(a-6)=0$$При $x\geqslant 0$ рассмотрим квадратное уравнение. Чтобы оно имело два положительных корня, необходимо и достаточно, чтобы произведение корней было положительным, а сумма — положительной: $-a(a-6)>0$ и $12-a>0$. Эти условия дают $0<a<6$.
Дискриминант первого квадратного уравнения равен
$$D_+= (a-12)^2+8a(a-6)=9(a-4)^2$$Следовательно, при $a=4$ корни совпадают, поэтому это значение нужно исключить.
При $x<0$ получаем второе квадратное уравнение:
$$2x^2+(a+6)x-a(a-6)=0$$Чтобы оно имело два отрицательных корня, необходимо, чтобы произведение корней было положительным, а сумма — отрицательной. При $0<a<6$ эти условия выполняются: произведение равно $-a(a-6)/2>0$, а сумма равна $-(a+6)/2<0$.
Дискриминант второго квадратного уравнения равен
$$D_-=(a+6)^2+8a(a-6)=9(a-2)^2$$При $a=2$ корни второго уравнения совпадают, поэтому значение $a=2$ также исключается. При $0<a<6$, $a\ne 2$, $a\ne 4$ оба уравнения имеют по два различных корня: два положительных и два отрицательных. Корень $x=0$ при этих значениях параметра не возникает.
a\in(0;6)\setminus\{2;4\}, или $0<a<6$, $a\ne2$, $a\ne4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\geqslant 0$ и $x<0$ после раскрытия модуля.
Считать значение параметра допустимым при нулевом дискриминанте.
Проверять только положительность произведения корней и не проверять знак их суммы.
Забыть исключить значения параметра, при которых появляется кратный корень.