Решение: Логарифмическое уравнение с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\ln(4x-1)\cdot\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;3]$.
Решение по шагам
10 шаговДля существования выражения необходимо $4x-1>0$, то есть $x>\frac14$. С учётом условия задачи рассматриваем $x\in\left(\frac14;3\right]$.
Произведение равно нулю в двух случаях: $\ln(4x-1)=0$ или $\sqrt{x^2-6x+6a-a^2}=0$.
Из первого уравнения получаем $4x-1=1$, поэтому $x=\frac12$. Этот корень должен удовлетворять второму множителю или, что эквивалентно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$\left(\frac12\right)^2-6\cdot\frac12+6a-a^2\ge 0$$После упрощения получаем:
$$a^2-6a+\frac{11}{4}\le 0$$Корни квадратного трёхчлена равны $\frac12$ и $\frac{11}{2}$, поэтому $x=\frac12$ является корнем исходного уравнения при $a\in\left[\frac12;\frac{11}{2}\right]$.
Второй случай даёт:
$$x^2-6x+6a-a^2=0$$Разложим левую часть на множители:
$$(x-a)(x-(6-a))=0$$Таким образом, возможные корни: $x=a$ и $x=6-a$. На отрезке $[0;3]$ и в области $x>\frac14$ ровно один из этих корней учитывается при $\frac14<a<\frac{23}{4}$, причём при $a=3$ оба корня совпадают и дают один корень $x=3$.
При $a\in\left[\frac12;\frac{11}{2}\right]$ корень $x=\frac12$ также присутствует. Обычно он отличен от корня квадратного множителя, поэтому получается как минимум два различных корня. Совпадение происходит только при $a=\frac12$ или $a=\frac{11}{2}$.
При $a=\frac12$ корни квадратного множителя равны $\frac12$ и $\frac{11}{2}$, из них на рассматриваемом промежутке подходит только $x=\frac12$. При $a=\frac{11}{2}$ корни равны $\frac{11}{2}$ и $\frac12$, и снова подходит только $x=\frac12$.
$a\in\left\{\frac12;\frac{11}{2}\right\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $4x-1>0$ для логарифма.
Считать корни $x=a$ и $x=6-a$ различными при $a=3$.
Забывать, что корень $x=\frac12$ возникает только при неотрицательности подкоренного выражения.
Считать совпадение корней только при $a=3$, не проверив совпадение с корнем логарифмического множителя.