Решение: Уравнение с модулем и параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x+1)\cdot|x+1|=2x-a$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
8 шаговВведём замену $y=x+1$. Тогда $x=y-1$, и исходное уравнение принимает вид
$$y|y|=2y-2-a$$Выразим параметр через $y$: $a=2y-2-y|y|$. Рассмотрим два случая.
При $y\geqslant 0$ имеем $|y|=y$, поэтому
$$a=2y-2-y^2=-(y-1)^2-1$$На промежутке $y\geqslant 0$ уравнение имеет: один корень при $a=-1$; два корня при $-2\leqslant a<-1$; один корень при $a<-2$; корней нет при $a>-1$.
При $y<0$ имеем $|y|=-y$, поэтому
$$a=2y-2+y^2=(y+1)^2-3$$На промежутке $y<0$ уравнение имеет: один корень при $a=-3$; два корня при $-3<a<-2$; один корень при $a\geqslant -2$; корней нет при $a<-3$.
Суммируем количества корней в двух случаях. При $a=-3$ получаем один корень из случая $y\geqslant0$ и один корень из случая $y<0$, всего два различных корня. При $a=-1$ также получаем по одному корню в каждом случае, всего два различных корня.
Для остальных значений $a$ общее число корней не равно двум: оно равно одному или трём.
a\in\{-3;-1\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $y\geqslant 0$ или $y<0$ после раскрытия модуля.
Засчитать точку $y=0$ одновременно в оба случая.
Проверять только число корней квадратного уравнения без учёта принадлежности корней нужному промежутку.