Решение: Параметр в уравнении с корнем
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$ имеет ровно три решения.
Решение по шагам
6 шаговТак как левая часть уравнения неотрицательна, необходимо потребовать неотрицательность правой части. После возведения в квадрат получаем:
$$x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2$$Раскрываем скобки и переносим все слагаемые в одну часть:
$$8x^3+(32-16a)x^2-64ax=0$$Разложим полученное выражение на множители:
$$8x\left(x^2+(4-2a)x-8a\right)=8x\left(x-2a\right)(x+4)=0$$Возможные корни имеют вид:
$$x=0,\quad x=2a,\quad x=-4$$При $x=0$ правая часть исходного уравнения равна $-8a$, поэтому этот корень допустим при $a\leq 0$. При $x=2a$ правая часть равна $4a^2\geq 0$, поэтому этот корень допустим при любом $a$. При $x=-4$ правая часть равна $-8a$, поэтому этот корень допустим при $a\leq 0$.
Для $a<0$ все три корня допустимы. Однако при $a=-2$ корни $x=2a$ и $x=-4$ совпадают, поэтому решений только два. При $a=0$ корни $x=0$ и $x=2a$ совпадают, а при $a>0$ допустим только корень $x=2a$.
$a\in(-\infty,-2)\cup(-2,0)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Возводят обе части в квадрат без проверки неотрицательности правой части.
Считают совпадающие корни разными решениями при $a=-2$ или $a=0$.
Забывают проверить найденные корни в исходном, а не только в преобразованном уравнении.