Решение: Корни рационального уравнения
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\dfrac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
7 шаговДробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$$9x^2-a^2=0,\qquad x^2+8x+16-a^2\ne0$$Разложим числитель на множители и найдём его корни.
$$9x^2-a^2=(3x-a)(3x+a)=0,\qquad x=\frac{a}{3}\ \text{или}\ x=-\frac{a}{3}$$Для получения двух различных корней необходимо, чтобы эти корни различались, то есть $a\ne0$.
Проверим первый корень $x=\frac{a}{3}$ в знаменателе.
$$\frac{a^2}{9}+\frac{8a}{3}+16-a^2=\frac{8}{9}(-a^2+3a+18)=-\frac{8}{9}(a-6)(a+3)$$Первый корень запрещён при $a=6$ или $a=-3$.
Проверим второй корень $x=-\frac{a}{3}$ в знаменателе.
$$\frac{a^2}{9}-\frac{8a}{3}+16-a^2=\frac{8}{9}(-a^2-3a+18)=-\frac{8}{9}(a-3)(a+6)$$Второй корень запрещён при $a=3$ или $a=-6$. Следовательно, оба корня существуют и являются допустимыми при всех действительных $a$, кроме $-6$, $-3$, $0$, $3$, $6$.
a\in\mathbb{R}\setminus\{-6,-3,0,3,6\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают проверить, не обращается ли знаменатель в ноль на найденных корнях.
Считают, что при $a=0$ уравнение имеет два корня.
Решают только уравнение числителя и не учитывают область допустимых значений.