Решение: Система с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}(x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=ax+a\end{cases}$
имеет ровно два различных решения.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $t=x-y+3$. Тогда первое уравнение системы имеет вид $(x^2-5x-y+3)\sqrt{t}=0$, поэтому необходимо рассмотреть два случая: $t=0$ или $x^2-5x-y+3=0$, при этом $t\ge0$.
$$t=x-y+3\ge0$$Случай 1: $x-y+3=0$. Тогда $y=x+3$. С учётом $y=ax+a$ получаем $(1-a)x=a-3$. При $a\ne1$ это даёт одну точку, а при $a=1$ решений нет.
$$x=\dfrac{a-3}{1-a}=\dfrac{3-a}{a-1}$$Случай 2: $x^2-5x-y+3=0$. Подставим $y=ax+a$: $x^2-(a+5)x+3-a=0$. Его дискриминант равен $D=(a+1)(a+13)$.
$$x^2-(a+5)x+3-a=0,\qquad D=a^2+14a+13=(a+1)(a+13)$$Кроме того, должно выполняться условие $x-y+3\ge0$. После подстановки прямой оно принимает вид $(1-a)x+3-a\ge0$. При $a>1$ это равносильно $x\le\dfrac{3-a}{a-1}$.
При $a=1$ квадратное уравнение $x^2-6x+2=0$ имеет два различных корня, и оба удовлетворяют условию области определения. Значение $a=1$ подходит.
Для $1<a<3$ квадратное уравнение имеет два положительных корня. При $1<a<\dfrac97$ оба корня допустимы, и вместе с решением из первого случая получается три различных решения. При $a=\dfrac97$ один из корней совпадает с решением первого случая, поэтому всего получается два решения. При $\dfrac97<a<3$ допустим ровно один корень квадратного уравнения, а решение первого случая является другим, поэтому также получается два решения.
При $a=3$ решение из первого случая совпадает с единственным допустимым корнем квадратного уравнения, поэтому решение только одно. При $a>3$ допустимых корней квадратного уравнения нет, поэтому также получается только одно решение. При $a\le -1$ нужного количества допустимых корней нет.
$a=1$ или $a\in\left[\dfrac97,3\right)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $x-y+3\ge0$, возникающее из квадратного корня.
Считать совпадающие решения из двух случаев различными.
Рассматривать только дискриминант и не проверять допустимость корней.
Включать значение $a=3$, при котором получается только одно различное решение.