Решение: Параметр в уравнении с дробью
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a\left(x+\dfrac{4}{x}\right)^2+2\left(x+\dfrac{4}{x}\right)-25a+10=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
7 шаговПусть $t=x+\dfrac{4}{x}$, где $x\ne0$. Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим или из исследования функции получаем область значений: $t\in(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)$.
Если $a=0$, исходное уравнение принимает вид $2t+10=0$, то есть $t=-5$. Уравнение $x+\dfrac{4}{x}=-5$ имеет два различных корня, поэтому $a=0$ подходит.
Пусть $a\ne0$. Тогда уравнение относительно $t$ имеет вид $at^2+2t-25a+10=0$. Его корни: $t_1=-5$ и $t_2=5-\dfrac{2}{a}$.
Значение $t_1=-5$ даёт два различных корня по $x$, поскольку $|-5|>4$. Чтобы общее число корней осталось равным двум, второе значение $t_2$ должно либо совпасть с $t_1$, либо не принадлежать области $(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)$.
Совпадение корней происходит при $5-\dfrac{2}{a}=-5$, откуда $a=\dfrac15$. В этом случае также получаются ровно два корня по $x$.
Во втором случае требуется $-4<5-\dfrac{2}{a}<4$. Решение двойного неравенства даёт $\dfrac{2}{9}<a<2$. Значение $a=\dfrac15$ уже входит в этот интервал, но оно также подходит из-за совпадения корней.
На концах интервала получаются $t_2=4$ или $t_2=-4$, что добавляет один корень по $x$ и даёт всего три корня. Поэтому концы интервала не включаются.
$a=0$ или $\dfrac{2}{9}<a<2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne0$.
Забыть, что выражение $x+\dfrac{4}{x}$ принимает значения только из множеств $(-\infty,-4]$ и $[4,+\infty)$.
Считать, что каждое допустимое значение $t$ даёт ровно два корня по $x$; при $t=\pm4$ получается только один корень.
Включить концы интервала $a=\dfrac{2}{9}$ или $a=2$, хотя они дают три корня.