Решение: Параметр в системе уравнений
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases}
x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0,\\
y^2=x^2
\end{cases}$$
имеет ровно четыре различных решения.
Решение по шагам
11 шаговИз второго уравнения системы следует, что $y=x$ или $y=-x$.
Рассмотрим случай $y=x$. Подставляя это равенство в первое уравнение, получаем
$$2x^2-(6a+4)x+5a^2+8a+3=0$$Для двух различных действительных корней дискриминант должен быть положительным:
$$D_1=(6a+4)^2-8(5a^2+8a+3)=-4(a^2+4a+2)>0$$Следовательно,
$$a^2+4a+2<0 \quad\Longrightarrow\quad -2-\sqrt{2}<a<-2+\sqrt{2}$$Рассмотрим случай $y=-x$. После подстановки получаем
$$2x^2-(2a+4)x+5a^2+8a+3=0$$Условие существования двух различных действительных корней:
$$D_2=(2a+4)^2-8(5a^2+8a+3)=-4(9a^2+12a+2)>0$$Отсюда
$$9a^2+12a+2<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-2-\sqrt{2}}{3}<a<\frac{-2+\sqrt{2}}{3}$$Пересечение найденных интервалов имеет вид
$$\frac{-2-\sqrt{2}}{3}<a<-2+\sqrt{2}$$Нужно исключить значения параметра, при которых решения из двух случаев совпадают. Это возможно только при $x=0$ и $y=0$. Подстановка в первое уравнение даёт условие
$$5a^2+8a+3=0$$Корни этого уравнения равны
$$a=-1,\quad a=-\frac{3}{5}$$Оба значения принадлежат найденному интервалу, поэтому их необходимо исключить.
a\in\left(\frac{-2-\sqrt{2}}{3},-1\right)\cup\left(-1,-\frac{3}{5}\right)\cup\left(-\frac{3}{5},-2+\sqrt{2}\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Рассматривают только один из случаев $y=x$ и $y=-x$.
Считают условие $D\geqslant0$ достаточным, хотя для двух различных корней требуется $D>0$.
Не исключают значения параметра, при которых решения из двух случаев совпадают.
Забывают проверить, принадлежат ли значения $a=-1$ и $a=-\frac{3}{5}$ найденному интервалу.