Решение: Четыре корня уравнения
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a$ имеет четыре различных корня.
Решение по шагам
8 шаговПравая часть исходного уравнения должна быть неотрицательной:
$$2x+2a\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -a$$Раскрываем модуль. Получаем две совокупности условий:
$$\begin{cases}x^2-6x+a^2-4a=2x+2a,\\x\ge -a\end{cases}\quad\text{или}\quad\begin{cases}x^2-6x+a^2-4a=-2x-2a,\\x\ge -a\end{cases}$$После преобразования получаем два квадратных уравнения:
$$x^2-8x+a^2-6a=0\quad\text{и}\quad x^2-4x+a^2-2a=0$$Для первого уравнения дискриминант равен $D_1=4(-a^2+6a+16)$, а корни имеют вид $x=4\pm\sqrt{-a^2+6a+16}$. Два различных корня существуют и оба удовлетворяют условию $x\ge-a$ при
$$a\in(-2,-1]\cup[0,8)$$Для второго уравнения дискриминант равен $D_2=4(-a^2+2a+4)$, а корни имеют вид $x=2\pm\sqrt{-a^2+2a+4}$. Два различных допустимых корня существуют при
$$a\in(1-\sqrt{5},-1]\cup[0,1+\sqrt{5})$$Оба уравнения должны иметь по два допустимых корня. Пересечение найденных промежутков равно
$$a\in(1-\sqrt{5},-1]\cup[0,1+\sqrt{5})$$Корни двух квадратных уравнений могут совпасть только при $x=-a$, поскольку разность их левых частей равна $-4(x+a)$. Подстановка $x=-a$ даёт условие
$$2a(a+1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a=-1\ \text{или}\ a=0$$При $a=-1$ или $a=0$ имеется общий корень, поэтому четырёх различных корней нет. Эти значения исключаем.
a\in(1-\sqrt{5},-1)\cup(0,1+\sqrt{5})
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $2x+2a\ge0$ при раскрытии модуля.
Проверить только существование действительных корней, но не проверить условие $x\ge-a$.
Не исключить значения $a=-1$ и $a=0$, при которых два корня совпадают.