Решение: Уравнение с параметром на отрезке
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$ на отрезке $[0;1]$ имеет ровно один корень.
Решение по шагам
7 шаговОба выражения являются квадратными корнями. Поэтому исходное уравнение равносильно системе: подкоренные выражения равны и оба неотрицательны.
$$\begin{cases}x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,\\x^2-a^2\geq 0.\end{cases}$$Из равенства подкоренных выражений получаем квадратное уравнение относительно $x$.
$$3x^2-(4a+2)x+a^2+2a=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители.
$$(x-a)(3x-a-2)=0$$Возможные корни исходного уравнения: $x_1=a$ и $x_2=\dfrac{a+2}{3}$. Дополнительное условие $x^2-a^2\geq0$ на отрезке $[0;1]$ равносильно условию $x\geq|a|$.
Корень $x_1=a$ удовлетворяет условиям $x\in[0;1]$ и $x\geq|a|$ тогда и только тогда, когда $a\in[0;1]$.
Для корня $x_2=\dfrac{a+2}{3}$ условие $x_2\in[0;1]$ даёт $a\in[-2;1]$. Условие $x_2\geq|a|$ даёт $a\in\left[-\dfrac12;1\right]$. Следовательно, второй корень допустим при $a\in\left[-\dfrac12;1\right]$.
При $a\in\left[-\dfrac12;0\right)$ допустим только корень $x_2$. При $a\in[0;1)$ допустимы оба различных корня. При $a=1$ корни совпадают: $x_1=x_2=1$.
a\in\left[-\dfrac12;0\right)\cup\{1\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не проверяют неотрицательность подкоренных выражений.
Считают корень $x=a$ допустимым при отрицательных значениях $a$.
Забывают, что при $a=1$ два найденных корня совпадают и дают ровно один корень.