Решение: Система с параметром и модулем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
\[
\begin{cases}
x^4+y^2=a^2,\\
x^2+y=|2a-4|
\end{cases}
\]
имеет ровно четыре различных решения.
Решение по шагам
7 шаговВведём замену $u=x^2$. Тогда $u\ge 0$, и исходная система принимает вид
$$\begin{cases}u^2+y^2=a^2,\\u+y=|2a-4|.\end{cases}$$В плоскости $(u,y)$ первое уравнение задаёт окружность радиуса $|a|$, а второе — прямую. Расстояние от начала координат до прямой равно $\dfrac{|2a-4|}{\sqrt2}$. Чтобы было две различные точки пересечения, нужно
$$|a|>\frac{|2a-4|}{\sqrt2}$$Каждая точка пересечения с $u>0$ порождает два различных значения $x=\pm\sqrt u$. Поэтому для получения ровно четырёх решений нужны две точки пересечения и положительные значения $u$ у обеих точек. Координаты $u$ точек пересечения имеют вид
$$u_{1,2}=\frac{|2a-4|\pm\sqrt{2a^2-(2a-4)^2}}{2}$$Условие $u_1>0$ и $u_2>0$ равносильно $|2a-4|^2>a^2$. Вместе с условием двух пересечений получаем
$$a^2<(2a-4)^2<2a^2$$Решим первое неравенство:
$$(2a-4)^2-a^2=3a^2-16a+16>0\quad\Longrightarrow\quad a<\frac43\ \text{или}\ a>4$$Решим второе неравенство:
$$(2a-4)^2<2a^2\Longleftrightarrow a^2-8a+8<0\Longleftrightarrow 4-2\sqrt2<a<4+2\sqrt2$$Пересечение найденных промежутков даёт множество допустимых значений параметра.
$$a\in(4-2\sqrt2,\frac43)\cup(4,4+2\sqrt2)$$Ответ: $a\in(4-2\sqrt2;\frac43)\cup(4;4+2\sqrt2)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $u=x^2\ge 0$.
Считать касание окружности и прямой двумя точками.
Включать концы промежутков, при которых число решений изменяется.
Забывать, что каждому положительному значению $u$ соответствуют два значения $x$.