Решение: Параметр в уравнении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x+1)a^2+x(x+1)^2a+x^4+2x^3-2x-1=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
10 шаговРазложим свободную часть уравнения:
$$x^4+2x^3-2x-1=(x+1)^2(x-1)$$Тогда исходное уравнение принимает вид:
$$(x+1)\left(a^2+ax(x+1)+(x+1)(x-1)\right)=0$$После упрощения получаем:
$$(x+1)\left((a+1)x^2+ax+a^2-1\right)=0$$Корень $x=-1$ имеется при любом значении параметра. Рассмотрим $a=0$: уравнение принимает вид $(x+1)^2(x-1)=0$, поэтому его различные корни — $x=-1$ и $x=1$.
При $a=-1$ квадратный трёхчлен становится линейным:
$$(a+1)x^2+ax+a^2-1=-x$$В этом случае корни исходного уравнения — $x=-1$ и $x=0$, то есть условие также выполнено.
Пусть $a\ne0,-1$. Тогда $x=-1$ не является корнем квадратного трёхчлена, поэтому для получения ровно двух различных корней квадратный трёхчлен должен иметь ровно один корень. Следовательно, его дискриминант должен равняться нулю:
$$D=a^2-4(a+1)(a^2-1)=0$$После раскрытия скобок получаем уравнение для параметра:
$$4a^3+3a^2-4a-4=0$$При $a\leqslant1$ равенство $a^2=4(a+1)^2(a-1)$ невозможно, кроме случаев, уже рассмотренных отдельно. На промежутке $a>1$ функция $4a^3+3a^2-4a-4$ имеет единственный нуль. Обозначим его через $\alpha$; численно $\alpha\approx1{,}075$.
Таким образом, подходят два специальных значения $a=0$ и $a=-1$, а также единственный корень уравнения $4a^3+3a^2-4a-4=0$, больший единицы.
Ответ: $a\in\{-1;\,0;\,\alpha\}$, где $\alpha$ — единственный корень уравнения $4\alpha^3+3\alpha^2-4\alpha-4=0$ на промежутке $(1;\,+\infty)$; $\alpha\approx1{,}075$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать корень $x=-1$, который присутствует при любом значении параметра.
Рассматривать только условие равенства дискриминанта нулю и пропустить случаи $a=0$ и $a=-1$.
Считать кратные корни различными.
Не проверять, совпадает ли корень квадратного трёхчлена с $x=-1$.