Решение: Уравнение с параметром и модулями
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|$ либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Решение по шагам
5 шаговПоложим $c=|a-3|$. Тогда $c\ge0$, а правая часть уравнения имеет вид $|x-c|+|x+c|=2\max(|x|,c)$. Обозначим $y=|x|$, где $y\ge0$.
$$y^4+c^2=2\max(y,c)$$Если $0\le y\le c$, то получаем $y^4=c(2-c)$. Для существования такого решения необходимо $0\le c\le2$ и $c(2-c)\le c^4$. При $c>0$ это равносильно $c^3+c-2\ge0$, то есть $c\ge1$. Поэтому в этой области решения возникают при $1\le c\le2$.
Если $y\ge c$, то получаем $f(y)=y^4-2y+c^2=0$. При $0<c<1$ имеем $f(c)=c(c^3+c-2)<0$, а $f(y)\to+\infty$ при $y\to+\infty$, поэтому существует положительное решение $y>c$. При $c\ge1$ функция на луче $y\ge c$ возрастает и $f(c)\ge0$, поэтому новых решений нет.
При $c=0$ существуют три решения исходного уравнения: $x=0$ и $x=\pm\sqrt[3]{2}$. При $0<c<2$ существует одно положительное значение $y$, а значит, два решения $x=\pm y$. При $c=2$ единственное решение — $x=0$. При $c>2$ решений нет.
Следовательно, требуемое условие выполняется тогда и только тогда, когда $c\ge2$. Возвращаясь к параметру, получаем $|a-3|\ge2$.
a\in(-\infty;1]\cup[5;+\infty)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что каждому положительному значению $y=|x|$ соответствуют два решения $x=\pm y$.
Рассматривать сумму модулей без разбиения на случаи $|x|\le c$ и $|x|\ge c$.
Потерять значения $c=2$, при котором единственное решение равно $x=0$.
Забыть заменить условие $c\ge2$ на $|a-3|\ge2$.