Решение: Система с параметром на окружности
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система
$$
\begin{cases}
2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a,\\
x^2+y^2=1
\end{cases}
$$
имеет единственное решение.
Решение по шагам
9 шаговИз второго уравнения системы следует, что точка $(x,y)$ лежит на единичной окружности. Обозначим $t=|x|$, тогда $0\le t\le 1$ и $y=\pm\sqrt{1-t^2}$.
Поскольку первое уравнение зависит от $x$ только через $|x|$ и $x^2$, вместе с решением $(x,y)$ при $x\ne0$ автоматически существует решение $(-x,y)$. Поэтому единственное решение возможно только при $x=0$.
При $x=0$ из уравнения окружности получаем $y=1$ или $y=-1$. Для точки $(0,1)$ значение параметра равно
$$a=2^{0+3}+7\cdot0+1-8\cdot1-7\cdot0^2=9$$Для точки $(0,-1)$ значение параметра равно
$$a=2^{0+3}+7\cdot0+1-8\cdot(-1)-7\cdot0^2=25$$Проверим, что при $t>0$ эти значения не дают других решений. Для верхней полуокружности $y=\sqrt{1-t^2}$ имеем
$$A_+(t)=2^{t+3}+7t+1-8\sqrt{1-t^2}-7t^2$$Функция $A_+(t)$ возрастает на $[0,1]$, поэтому при $t>0$ выполняется $A_+(t)>A_+(0)=9$. Кроме того, $A_+(1)=17$, следовательно, значение $25$ на верхней полуокружности не достигается.
Для нижней полуокружности $y=-\sqrt{1-t^2}$ имеем
$$A_-(t)=2^{t+3}+7t+1+8\sqrt{1-t^2}-7t^2$$На отрезке $0<t\le1$ функция $A_-(t)$ принимает значения, большие либо равные $17$, а значение $25$ достигается только при $t=0$. Поэтому при $t>0$ значение $9$ невозможно, а значение $25$ также не возникает.
Следовательно, при $a=9$ единственным решением является $(0,1)$, а при $a=25$ единственным решением является $(0,-1)$.
Ответ: $a=9$ или $a=25$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что при $x\ne0$ решения $(x,y)$ и $(-x,y)$ возникают одновременно.
Проверить только точки с $x=0$, но не доказать отсутствие других решений на окружности.
Перепутать знаки при подстановке $y=\pm\sqrt{1-t^2}$.