Решение: Уравнение с параметром и логарифмами
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2-3x}\cdot\ln(16x^2-a^2)=\sqrt{2-3x}\cdot\ln(4x+a)$ имеет ровно один корень.
Решение по шагам
10 шаговОбласть определения уравнения задаётся условиями $2-3x\ge 0$, $16x^2-a^2>0$ и $4x+a>0$.
Произведение равно нулю в двух случаях: либо $\sqrt{2-3x}=0$, либо равны логарифмы.
В первом случае $x=\dfrac23$. Этот корень допустим, если оба аргумента логарифмов положительны:
$$16\left(\frac23\right)^2-a^2>0,\qquad 4\cdot\frac23+a>0$$Получаем условие существования корня $x=\dfrac23$:
$$-\frac83<a<\frac83$$Во втором случае логарифмы равны, поэтому равны их положительные аргументы:
$$16x^2-a^2=4x+a$$Разложим уравнение на множители:
$$16x^2-4x-a^2-a=(4x+a)(4x-a-1)=0$$Корень $4x+a=0$ недопустим, поскольку тогда аргумент логарифма $4x+a$ равен нулю. Второй кандидат имеет вид:
$$x=\frac{a+1}{4}$$Для этого корня необходимо $4x+a=2a+1>0$, то есть $a>-\dfrac12$, а также $x\le\dfrac23$, то есть $a\le\dfrac53$. Следовательно, дополнительный корень существует при:
$$-\frac12<a\le\frac53$$На интервале $-\dfrac12<a<\dfrac53$ существуют два различных корня: $x=\dfrac23$ и $x=\dfrac{a+1}{4}$. При $a=\dfrac53$ они совпадают. При $a=-\dfrac12$ дополнительный корень недопустим.
Поэтому ровно один корень получается при параметрах, когда существует только $x=\dfrac23$, а также при $a=\dfrac53$.
a\in\left(-\frac83,-\frac12\right]\cup\left\{\frac53\right\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать отдельный случай $\sqrt{2-3x}=0$.
Считать корнем значение $x=-\dfrac a4$, хотя при нём аргумент логарифма равен нулю.
Не проверять положительность аргументов логарифмов.
Считать два корня различными при $a=\dfrac53$, хотя в этом случае они совпадают.