Решение: Система с параметром и четыре решения
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
x^4-y^4=12a-28,\\
x^2+y^2=a
\end{cases}
$$
имеет ровно четыре различных решения.
Решение по шагам
6 шаговТак как $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$, при $a=0$ система несовместна: первое уравнение даёт $x^4-y^4=-28$, а второе — $x^2+y^2=0$, откуда $x^4-y^4=0$. Поэтому далее считаем $a>0$.
Обозначим $u=x^2$, $v=y^2$. Тогда $u\geqslant0$, $v\geqslant0$, а система принимает вид
$$\begin{cases}u+v=a,\\a(u-v)=12a-28\end{cases}$$Поскольку $a>0$, находим разность $u-v=12-\dfrac{28}{a}$ и затем сами значения $u$ и $v$.
$$u=\frac{a+12-28/a}{2},\qquad v=\frac{a-12+28/a}{2}$$Чтобы каждой паре положительных значений $u$ и $v$ соответствовали четыре различных решения $(x,y)$, необходимо и достаточно, чтобы $u>0$ и $v>0$. Первое неравенство даёт
$$u>0\iff a^2+12a-28>0\iff a>2$$Второе неравенство имеет решение
$$v>0\iff a^2-12a+28>0\iff a<6-2\sqrt2\ \text{или}\ a>6+2\sqrt2$$Объединяя условия при $a>0$, получаем искомый набор значений параметра. При граничных значениях $a=2$, $a=6-2\sqrt2$ или $a=6+2\sqrt2$ одно из чисел $u,v$ равно нулю, поэтому решений только два, а не четыре.
$$a\in(2,6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2,+\infty)$$$a\in(2,6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2,+\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условия $x^2\geqslant0$ и $y^2\geqslant0$.
Включать концы промежутков, при которых одно из чисел $x^2$ или $y^2$ равно нулю.
Считать четыре решения при отрицательных значениях $u$ или $v$.