19
Ответ: Система с параметром и четыре решения
ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 19 · Уравнения с параметрами
ВысокаяФИПИE156E1Развёрнутое решение≈ 15 минут
Что должно получиться
$a\in(2,6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2,+\infty)$
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Условие
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
x^4-y^4=12a-28,\\
x^2+y^2=a
\end{cases}
$$
имеет ровно четыре различных решения.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условия $x^2\geqslant0$ и $y^2\geqslant0$.
Включать концы промежутков, при которых одно из чисел $x^2$ или $y^2$ равно нулю.
Считать четыре решения при отрицательных значениях $u$ или $v$.