Решение: Уравнение с параметром
Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $25^x-(a+6)5^x=(5+3|a|)5^x-(a+6)(3|a|+5)$ имеет единственное решение.
Решение по шагам
8 шаговВведём замену $t=5^x$. Так как $5^x>0$ при любом действительном $x$, необходимо рассматривать только положительные корни $t$.
$$t=5^x>0$$Поскольку $25^x=(5^x)^2=t^2$, перенесём все слагаемые в левую часть и разложим выражение на множители.
$$t^2-(a+11+3|a|)t+(a+6)(3|a|+5)=0$$Квадратный трёхчлен раскладывается следующим образом:
$$(t-(a+6))(t-(3|a|+5))=0$$Корень $t_2=3|a|+5$ всегда положителен. Второй корень $t_1=a+6$ положителен при $a>-6$ и неположителен при $a\leqslant -6$.
Если $a\leqslant -6$, то положительным является только корень $t_2$, поэтому исходное уравнение имеет единственное решение.
Если $a>-6$, оба корня положительны. Чтобы решение было единственным, корни должны совпадать. Однако при совпадении корней число различных положительных значений $t$ равно одному, поэтому необходимо исключить значения параметра, при которых корни различны? Проверим условие единственности: при различных положительных корнях получаются два различных значения $x$, а при совпадении — одно.
$$a+6=3|a|+5$$Решим уравнение совпадения корней. При $a\geqslant0$ получаем $a+1=3a$, откуда $a=\frac12$. При $a<0$ получаем $a+1=-3a$, откуда $a=-\frac14$. Оба значения удовлетворяют условию $a>-6$.
Следовательно, при $a>-6$ единственное решение получается только при совпадении корней, то есть при $a=-\frac14$ или $a=\frac12$. При $a\leqslant-6$ единственность также выполняется.
a\in(-\infty,-6]\cup\left\{-\frac14,\frac12\right\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают условие $t=5^x>0$ и считают корень $t=a+6$ допустимым при $a\leqslant-6$.
Считают два совпадающих корня двумя решениями.
При решении уравнения $a+6=3|a|+5$ не рассматривают отдельно случаи $a\geqslant0$ и $a<0$.