Система неравенств с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
\[
\begin{cases}
2a \le x,\\
6x > x^2+a^2,\\
x+a \le 6
\end{cases}
\]
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите, при каких $a$ второе неравенство может выполняться хотя бы для одного $x \in [4;5]$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Преобразуйте второе неравенство к виду $a^2 < 6x-x^2 = 9-(x-3)^2$ и учтите ограничения $x \ge 4$ и $x \le 6-a$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Для $a<0$ достаточно исследовать значение при $x=4$ и получить $a^2<8$. Для $a\ge 0$ ограничение $x+a\le6$ даёт $a\le2$, причём все такие значения подходят при $x=4$.