Решение: Система неравенств с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
\[
\begin{cases}
2a \le x,\\
6x > x^2+a^2,\\
x+a \le 6
\end{cases}
\]
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $x \in [4;5]$. Первое неравенство задаёт условие $a \le \dfrac{x}{2}$, а третье — условие $a \le 6-x$.
$$a \le \min\left(\dfrac{x}{2},6-x\right)$$На отрезке $[4;5]$ имеем $\dfrac{x}{2} \ge 2$. Поэтому при $a\le 2$ первое неравенство не создаёт дополнительного ограничения по сравнению с необходимыми условиями.
Второе неравенство преобразуем:
$$6x>x^2+a^2 \Longleftrightarrow a^2<6x-x^2=9-(x-3)^2$$На отрезке $[4;5]$ функция $6x-x^2$ строго убывает, поэтому её наибольшее значение достигается при $x=4$ и равно $8$.
Если $a<0$, то условие $x+a\le6$ выполняется при $x=4$, поскольку $a<0$. При $x=4$ первое неравенство также выполняется, если $a\le2$. Поэтому существование решения эквивалентно условию $a^2<8$, то есть $-2\sqrt2<a<0$.
Если $a\ge0$, то из условия $x+a\le6$ при $x\ge4$ следует $a\le2$. Для любого $a\in[0;2]$ можно взять $x=4$: тогда $2a\le4$, $4+a\le6$, а $24>16+a^2$, поскольку $a^2\le4<8$.
Объединяя найденные промежутки, получаем множество всех подходящих значений параметра.
Ответ: $a\in(-2\sqrt2;\,2]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Заменяют строгое неравенство $6x>x^2+a^2$ нестрогим и ошибочно включают значение $a=-2\sqrt2$.
Забывают учесть ограничение $x+a\le6$, из-за чего получают слишком широкий промежуток параметров.
Проверяют только необходимость условия $a^2<8$, но не доказывают существование подходящего $x$.