Уравнение с параметром и модулями
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert\right)^2-7\left(\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert\right)+4a^2+4=0$ имеет ровно два различных корня.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте $t=\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert$. Какие значения может принимать $t$ и сколько значений $x$ соответствует каждому $t$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для $a^2\ge 0$ минимальное значение $t$ равно $a^2+1$. Рассмотрите положение корней квадратного уравнения относительно точки $t=a^2+1$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $a^2<2$ точка $t=a^2+1$ лежит между корнями, поэтому только один корень уравнения по $t$ превышает минимум и даёт два значения $x$. При $a^2=\dfrac{33}{16}$ корни по $t$ совпадают и также дают два значения $x$.