Решение: Уравнение с модулем и параметром
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\left(3x+|x-a|+|2x+a+1|\right)^2-a\left(3x+|x-a|+|2x+a+1|\right)+a^2-16=0$ имеет ровно один корень.
Решение по шагам
10 шаговВведём обозначение $t=3x+|x-a|+|2x+a+1|$. Тогда исходное уравнение принимает вид
$$t^2-at+a^2-16=0$$Исследуем зависимость $t$ от $x$. При $x\leq a$ и $x\leq\dfrac{-a-1}{2}$ имеем
$$t=3x+(a-x)+(-2x-a-1)=-1$$Следовательно, значение $t=-1$ достигается при бесконечно многих $x$. На остальных участках угловой коэффициент функции $t(x)$ положителен, поэтому каждое значение $t>-1$ достигается ровно один раз, а значения $t<-1$ не достигаются.
Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень по $x$ тогда и только тогда, когда квадратное уравнение по $t$ имеет ровно один корень, больший $-1$, и не имеет корня $t=-1$.
Дискриминант квадратного уравнения по $t$ равен
$$\Delta=a^2-4(a^2-16)=64-3a^2$$Сначала рассмотрим случай двух различных корней. Для того чтобы ровно один из них был больше $-1$, число $-1$ должно лежать строго между корнями. Для квадратного трёхчлена с положительным старшим коэффициентом это равносильно условию
$$(-1)^2-a(-1)+a^2-16<0$$Получаем
$$a^2+a-15<0\quad\Longleftrightarrow\quad -5<a<3$$Одновременно должны выполняться условия существования двух различных корней: $\Delta>0$, то есть $|a|<\dfrac{8}{\sqrt3}$. Пересечение условий даёт
$$-\dfrac{8}{\sqrt3}<a<3$$Граничные значения $a=-5$ и $a=3$ не подходят: при них один из корней по $t$ равен $-1$, что даёт бесконечно много корней по $x$. Значение $a=-\dfrac{8}{\sqrt3}$ также не подходит: единственный корень по $t$ меньше $-1$.
Остаётся случай двойного корня: $\Delta=0$, откуда $a=\pm\dfrac{8}{\sqrt3}$. Единственный корень равен $t=\dfrac a2$. При $a=\dfrac{8}{\sqrt3}$ он больше $-1$ и даёт ровно один корень по $x$. При $a=-\dfrac{8}{\sqrt3}$ он меньше $-1$ и не достигается.
Все значения параметра: $a\in\left(-\dfrac{8}{\sqrt3},3\right)\cup\left\{\dfrac{8}{\sqrt3}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать функцию $3x+|x-a|+|2x+a+1|$ строго возрастающей на всей числовой прямой.
Не учитывать, что значение $t=-1$ достигается бесконечно многими значениями $x$.
Включить граничные значения $a=-5$ или $a=3$, при которых один из корней по $t$ равен $-1$.
Рассмотреть только случай двух различных корней и пропустить случай нулевого дискриминанта.