Решение: Уравнение с параметром
Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)$ имеет единственное решение.
Решение по шагам
6 шаговВыполним замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом действительном $x$, то $t > 0$. Кроме того, каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x$.
$$4^x = (2^x)^2 = t^2$$Подставим замену в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть.
$$t^2 + (a-6)t - (2+3|a|)t^2 - (a-6)(3|a|+2)=0$$После умножения на $-1$ получаем квадратное уравнение.
$$(1+3|a|)t^2 + (a-6)(1+3|a|)t + (a-6)(3|a|+2)=0$$Старший коэффициент $1+3|a|$ всегда положителен. Произведение корней равно
$$t_1t_2 = \frac{(a-6)(3|a|+2)}{1+3|a|}$$Если $a<6$, то произведение корней отрицательно, поскольку $3|a|+2>0$ и $1+3|a|>0$. Следовательно, корни действительны и имеют разные знаки. Ровно один корень положителен, а значит, исходное уравнение имеет единственное решение по $x$.
$$a<6 \Rightarrow t_1t_2<0$$Если $a=6$, уравнение сводится к $(1+3|a|)t^2=0$, то есть $t=0$, что невозможно при $t=2^x>0$. Если $a>6$, то сумма корней равна $-(a-6)<0$, а произведение положительно; при наличии действительных корней оба они отрицательны, поэтому положительных корней нет.
$$a=6 \Rightarrow t=0; \quad a>6 \Rightarrow t_1+t_2<0,\ t_1t_2>0$$a \in (-\infty; 6)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что после замены $t=2^x$ необходимо учитывать условие $t>0$.
Считают корень $t=0$ допустимым.
При $a>6$ делают вывод о наличии положительных корней только по знаку дискриминанта.