Решение: Параметр в рациональном уравнении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x^2-x)a^2-(x^4-x^3-x+1)a-x^3+x^2=0$$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
11 шаговРазложим выражение на множители:
$$x^2-x=x(x-1),\quad x^4-x^3-x+1=(x-1)^2(x^2+x+1),\quad -x^3+x^2=-x^2(x-1)$$Тогда исходное уравнение принимает вид
$$(x-1)\left(ax^2?\right)$$После корректного вынесения множителя $x-1$ получаем:
$$(x-1)\left(ax^2?\right)$$Уточним второй множитель непосредственно:
$$(x-1)\left(xa^2-a(x-1)(x^2+x+1)-x^2\right)=0$$Так как $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$, второй множитель равен кубическому многочлену
$$Q_a(x)=-ax^3-x^2+a^2x+a$$Корень $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом $a$. Для $a\neq0$ дискриминант кубического многочлена $Q_a(x)$ равен
$$\Delta=4a(a^3-1)^2$$Если $a<0$ и $a\neq-1$, то $\Delta<0$, поэтому уравнение $Q_a(x)=0$ имеет ровно один действительный корень. Он не равен $1$, поскольку $Q_a(1)=a^2-1\neq0$. Вместе с корнем $x=1$ получаем ровно два различных корня.
При $a>0$, $a\neq1$, имеем $\Delta>0$, поэтому у $Q_a(x)=0$ три различных действительных корня. Следовательно, исходное уравнение имеет более двух различных корней.
Рассмотрим особые значения параметра. При $a=0$ исходное уравнение имеет вид $-x^2(x-1)=0$, поэтому его различные корни: $x=0$ и $x=1$.
При $a=1$ имеем $Q_1(x)=-(x+1)^2(x-1)$, поэтому различные корни исходного уравнения: $x=-1$ и $x=1$.
При $a=-1$ имеем $Q_{-1}(x)=(x-1)(x^2+1)$, поэтому единственный действительный корень исходного уравнения — $x=1$. Это значение не подходит.
a\in(-\infty,-1)\cup(-1,0]\cup\{1\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра.
Ошибочно считать, что при нулевом дискриминанте кубический многочлен всегда имеет только один различный корень.
Не проверить отдельно значения $a=-1$, $a=0$ и $a=1$.
Считать кратные корни различными.