Решение: Система с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$\begin{cases}x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x|\end{cases}$$
имеет ровно два различных решения.
Решение по шагам
7 шаговИз первого уравнения системы получаем $y=a-x$. Тогда
$$|a-x|=|x^2-2x|$$Равенство модулей равносильно совокупности двух уравнений:
$$a-x=x^2-2x \quad \text{или} \quad a-x=-x^2+2x$$После преобразований получаем два квадратных уравнения:
$$x^2-x-a=0 \quad \text{и} \quad x^2-3x+a=0$$Для первого уравнения дискриминант равен $D_1=1+4a$. Поэтому оно имеет два корня при $a>-\frac14$, один корень при $a=-\frac14$ и не имеет корней при $a<-\frac14$.
Для второго уравнения дискриминант равен $D_2=9-4a$. Поэтому оно имеет два корня при $a<\frac94$, один корень при $a=\frac94$ и не имеет корней при $a>\frac94$.
При $-\frac14<a<\frac94$ оба уравнения имеют по два корня, но решения могут совпасть. Совпадение происходит, когда одновременно $x^2-2x=0$, то есть $x=0$ или $x=2$. Соответствующие значения параметра: $a=0$ и $a=2$. В этих случаях получается три различных решения, а не два.
При $a=-\frac14$ или $a=\frac94$ общее число решений равно трём. При $a<- rac14$ первое уравнение корней не имеет, а второе имеет два различных корня. При $a>\frac94$ первое уравнение имеет два различных корня, а второе корней не имеет.
a\in\left(-\infty,-\frac14\right)\cup\left(\frac94,+\infty\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать совпадение решений, полученных из двух случаев раскрытия модулей.
Включать значения $a=-\frac14$ или $a=\frac94$, при которых одно из квадратных уравнений имеет только один корень.
Считать корни двух уравнений различными без проверки общих решений при $a=0$ и $a=2$.