Решение: Уравнение с параметром на отрезке
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{7x-4}\cdot\ln\left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$ имеет на отрезке $[0;4]$ ровно один корень.
Дайте развернутый ответ.
Решение по шагам
7 шаговРассмотрим область допустимых значений уравнения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7x-4\ge 0$, поэтому $x\ge\frac{4}{7}$. С учётом заданного отрезка рассматриваются значения $x\in\left[\frac{4}{7};4\right]$.
$$7x-4\ge 0$$Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель. Первый множитель равен нулю при $x=\frac{4}{7}$.
$$\sqrt{7x-4}=0\iff x=\frac{4}{7}$$Для второго множителя используем равенство $\ln y=0\iff y=1$. Получаем уравнение $x^2-8x+17-a^2=1$, или $(x-4)^2=a^2$.
$$(x-4)^2=a^2$$Обозначим $t=|a|$. Тогда возможные корни второго множителя имеют вид $x=4-t$ и $x=4+t$. На отрезке $[0;4]$ при $0\le t\le4$ находится ровно один корень: при $t=0$ оба выражения дают один и тот же корень $x=4$, а при $0<t\le4$ на отрезке находится только $x=4-t$.
$$x=4-t,\quad x=4+t$$Проверим, когда точка $x=\frac{4}{7}$ действительно является корнем исходного уравнения. Логарифм должен быть определён: $\left(\frac{4}{7}\right)^2-8\cdot\frac{4}{7}+17-a^2>0$. После упрощения получаем $\frac{625}{49}-a^2>0$, то есть $|a|<\frac{25}{7}$.
$$\frac{625}{49}-a^2>0\iff |a|<\frac{25}{7}$$Если $|a|<\frac{25}{7}$ и $|a|\le4$, обычно имеются два различных корня: $x=\frac{4}{7}$ и $x=4-|a|$. Они совпадают, когда $4-|a|=\frac{4}{7}$, то есть при $|a|=\frac{24}{7}$.
$$4-|a|=\frac{4}{7}\iff |a|=\frac{24}{7}$$При $\frac{25}{7}\le |a|\le4$ точка $x=\frac{4}{7}$ не является корнем из-за нарушения области определения логарифма, а корень $x=4-|a|$ остаётся единственным. При $|a|>4$ корней от второго множителя на отрезке нет, а точка $x=\frac{4}{7}$ также не подходит.
$$\frac{25}{7}\le |a|\le4$$$a\in\left[-4;-\frac{25}{7}\right]\cup\left[\frac{25}{7};4\right]\cup\left\{-\frac{24}{7};\frac{24}{7}\right\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не проверяют область определения логарифма в точке $x=\frac{4}{7}$.
Считают корни $x=4-|a|$ и $x=4+|a|$ различными при $a=0$.
Не учитывают случай совпадения корней при $|a|=\frac{24}{7}$.
Включают значения $|a|>4$, хотя корни логарифмического множителя тогда не принадлежат отрезку $[0;4]$.