Решение: Уравнение с параметром и логарифмами
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(5x - 2)\cdot\ln(x+a)=(5x-2)\cdot\ln(2x-a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
Решение по шагам
7 шаговСначала выпишем область определения уравнения:
$$x+a>0,\quad 2x-a>0$$Произведение равно нулю в двух случаях. Первый случай:
$$5x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac25$$Проверим, когда значение $x=\frac25$ входит в область определения:
$$\frac25+a>0,\quad \frac45-a>0\quad\Rightarrow\quad -\frac25<a<\frac45$$Во втором случае логарифмы равны. Так как они определены, равенство логарифмов равносильно равенству их аргументов:
$$x+a=2x-a\quad\Rightarrow\quad x=2a$$Чтобы корень $x=2a$ лежал на отрезке $[0;1]$ и принадлежал области определения, необходимо и достаточно:
$$0\leq 2a\leq 1,\quad 3a>0\quad\Rightarrow\quad 0<a\leq\frac12$$На промежутке $0<a\leq\frac12$ корень $x=\frac25$ также существует, поэтому обычно имеются два различных корня. Они совпадают, если:
$$2a=\frac25\quad\Rightarrow\quad a=\frac15$$Если $-\frac25<a\leq0$, существует только корень $x=\frac25$. При $a=0$ второй случай не даёт корня из-за нарушения области определения в точке $x=0$.
a\in\left(-\frac25;0\right]\cup\left\{\frac15\right\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $a=-\frac25$ или $a=\frac45$, хотя один из аргументов логарифма обращается в ноль.
Считают совпадающие корни при $a=\frac15$ двумя корнями.
Включают $a=0$, считая $x=0$ корнем второго уравнения, хотя логарифмы при этом не определены.