Система неравенств с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$$
\begin{cases}
x \le 2a+6,\\
6x \ge x^2+a^2,\\
x+a>0
\end{cases}
$$
имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите отдельно случаи $a\ge 0$ и $a<0$. Какие ограничения на $x$ задают первое и третье неравенства?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из второго неравенства получаем $a^2\le 6x-x^2$. На отрезке $[1;2]$ правая часть возрастает от $5$ до $8$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При $a\ge0$ можно проверить точку $x=2$, поэтому необходимо и достаточно $a^2\le8$. При $a<0$ условие $x+a>0$ даёт $x>-a$, откуда при $x\le2$ следует $a>-2$.