Решение: Уравнение с параметром и модулем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left|x^2+a^2-6x+4a\right|=2x-2a$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
9 шаговТак как левая часть неотрицательна, необходимо $2x-2a\geqslant0$, то есть $x\geqslant a$.
Если выражение под модулем неотрицательно, получаем первое квадратное уравнение:
$$x^2+a^2-6x+4a=2x-2a\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+a^2+6a=0.$$Его дискриминант равен $D_1=4(25-(a+3)^2)$, поэтому действительные корни существуют при $-8\leqslant a\leqslant2$. Корни имеют вид:
$$x_{1,2}=4\pm\sqrt{25-(a+3)^2}.$$С учётом условия $x\geqslant a$ это уравнение имеет два допустимых корня при $a\in[-8,0]\cup[1,2]$, один допустимый корень при $a\in(0,1)$ и ни одного корня вне отрезка $[-8,2]$. В точках $a=-8$ и $a=2$ корень единственный.
Если выражение под модулем неположительно, получаем второе уравнение:
$$x^2+a^2-6x+4a=-2x+2a\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-4x+a^2+2a=0.$$Его дискриминант равен $D_2=4(5-(a+1)^2)$, поэтому действительные корни существуют при $-1-\sqrt5\leqslant a\leqslant-1+\sqrt5$. Корни имеют вид:
$$x_{1,2}=2\pm\sqrt{5-(a+1)^2}.$$После проверки условия $x\geqslant a$ второе уравнение имеет два допустимых корня при $a\in[-1-\sqrt5,0]\cup[1,-1+\sqrt5]$, один допустимый корень при $a\in(0,1)$, а на концах области допустимых значений дискриминанта — один корень.
Общий корень двух уравнений возможен только при одновременном выполнении их разности $-4x+4a=0$, то есть $x=a$. Подстановка даёт $2a(a-1)=0$, поэтому общие корни возникают только при $a=0$ и $a=1$. В этих случаях различных корней три, а не два.
Суммарно ровно два различных корня получаются на промежутке $(0,1)$, где каждое уравнение даёт по одному корню, а также вне области существования второго уравнения: при $a\in(-8,-1-\sqrt5)$ и $a\in(-1+\sqrt5,2)$. Точки $a=-8$ и $a=2$ исключаются, поскольку там первое уравнение имеет только один корень.
a\in(-8,-1-\sqrt5)\cup(0,1)\cup(-1+\sqrt5,2)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $x\geqslant a$, которое следует из неотрицательности правой части.
Считать корни двух квадратных уравнений различными при $a=0$ или $a=1$.
Включать точки $a=-8$ и $a=2$, где дискриминант первого уравнения равен нулю.
Включать точки $a=-1-\sqrt5$ и $a=-1+\sqrt5$, где второе уравнение имеет только один корень.