Решение: Уравнение с параметром и модулем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2+a^2-x-7a=|7x-a|$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
6 шаговРазобьём уравнение по знаку выражения под модулем.
$$x<\dfrac a7:\quad x^2+6x+a^2-8a=0;\qquad x\geq\dfrac a7:\quad x^2-8x+a^2-6a=0$$Для левой ветви дискриминант равен $4\bigl(25-(a-4)^2\bigr)$, поэтому два действительных корня возникают при $-1<a<9$. Для правой ветви дискриминант равен $4\bigl(32-(a-3)^2\bigr)$, поэтому два действительных корня возникают при $3-4\sqrt2<a<3+4\sqrt2$.
Граница ветвей имеет вид $x=\dfrac a7$. Подстановка этой точки в уравнение даёт $\dfrac{50a(a-7)}{49}=0$, то есть особые значения $a=0$ и $a=7$; при них получается по три различных корня, поэтому они не подходят.
При $3-4\sqrt2<a<-1$ действительные корни есть только у правой ветви, и оба удовлетворяют условию $x\geq\dfrac a7$. Поэтому получается ровно два корня.
При $-1<a<0$ или $7<a<3+4\sqrt2$ обе ветви дают по два допустимых корня, то есть всего четыре корня. При $3+4\sqrt2<a<9$ два допустимых корня остаются только у левой ветви.
Концы промежутков $a=-1$, $a=3+4\sqrt2$ и $a=9$ не включаются: при них появляется кратный корень либо число различных корней становится отличным от двух.
a\in(3-4\sqrt2,-1)\cup(3+4\sqrt2,9)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<\dfrac a7$ и $x\geq\dfrac a7$ после раскрытия модуля.
Считать кратный корень двумя различными корнями.
Включать значения $a=0$ и $a=7$, при которых корень находится на границе ветвей.
Проверять только дискриминанты и не подсчитывать допустимые корни каждой ветви.