Решение: Система с модулем и параметром
Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}
|x|+|y|=a,\\
y=\sqrt{x+4}
\end{cases}$
имеет ровно два различных решения.
Решение по шагам
6 шаговИз второго уравнения следует $y\geqslant 0$ и $x=y^2-4$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$$|y^2-4|+y=a$$На отрезке $0\leqslant y\leqslant 2$ выражение $y^2-4$ неположительно, поэтому
$$a=4+y-y^2$$Функция $4+y-y^2$ на отрезке $[0;2]$ достигает максимума в точке $y=\frac12$, причём максимальное значение равно $\frac{17}{4}$. На концах отрезка значения равны $4$ и $2$.
На луче $y\geqslant 2$ выражение $y^2-4$ неотрицательно, поэтому
$$a=y^2+y-4$$Функция $y^2+y-4$ строго возрастает при $y\geqslant 2$ и принимает значения от $2$ до бесконечности. Точка $y=2$ является общей границей двух рассмотренных промежутков и не даёт двух различных решений.
При $2<a<4$ одно решение получается на убывающей ветви функции $4+y-y^2$, а второе — на луче $y>2$. При $a=\frac{17}{4}$ имеется одно касание в точке $y=\frac12$ и ещё одно решение на луче $y>2$. При $a=4$ решений три, а при $4<a<\frac{17}{4}$ также три.
a\in\left(2;4\right)\cup\left\{\frac{17}{4}\right\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие $y\geqslant 0$, следующее из второго уравнения.
Считать точку $y=2$ двумя решениями при $a=2$, хотя это одна и та же точка.
Забывать о дополнительном решении на луче $y\geqslant 2$.
Включать значение $a=4$, при котором решений три.