Решение: Кредит с ежегодными выплатами
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей. Суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны. Найдите $r$, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.
Решение по шагам
9 шаговОбозначим через $x=\frac{r}{100}$ долю ежегодного увеличения долга, а через $q=1+x$ коэффициент увеличения. Все суммы будем измерять в миллионах рублей.
$$q=1+x$$В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг равен 6,6 млн рублей. Поэтому после январского увеличения до $6{,}6q$ ежегодная выплата в каждом из этих трёх лет равна:
$$6{,}6q-6{,}6=6{,}6(q-1)=6{,}6x$$Пусть $B$ — долг в июле 2030 года после выплаты. В январе 2030 года долг равен $6{,}6q$, поэтому выплата 2030 года составляет $6{,}6q-B$. В январе 2031 года долг становится равным $Bq$, и так как выплата 2031 года полностью погашает долг, она равна $Bq$.
$$6{,}6q-B=Bq$$Из равенства выплат получаем:
$$B(q+1)=6{,}6q,\qquad B=\frac{6{,}6q}{q+1}$$Размер каждой из двух последних выплат равен:
$$Bq=\frac{6{,}6q^2}{q+1}$$Составим уравнение по общему размеру выплат: три первые выплаты равны $6{,}6x$, а две последние — $\frac{6{,}6q^2}{q+1}$.
$$3\cdot6{,}6x+2\cdot\frac{6{,}6(1+x)^2}{2+x}=12{,}6$$После деления на $6{,}6$ и приведения к квадратному уравнению получаем:
$$3x+\frac{2(1+x)^2}{2+x}=\frac{21}{11},\qquad 55x^2+89x-20=0$$Корни квадратного уравнения:
$$x=\frac{-89\pm111}{110}$$Так как $x$ не может быть отрицательным, выбираем $x=0{,}2$. Следовательно, $r=100x=20$ процентов.
$r=20\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что январское увеличение происходит до выплат с февраля по июнь.
Считают выплаты 2030 и 2031 годов равными 6,6 млн рублей.
Не отбрасывают отрицательный корень квадратного уравнения.
Подставляют $r$ вместо доли $x=\frac{r}{100}$.