Решение: Уравнение с модулей и параметром

Введём обозначение $t=|x-a-1|+|x-a+1|$. По свойствам суммы расстояний до точек $a-1$ и $a+1$ имеем $t\ge 2$. При $|x-a|\le 1$ значение $t=2$, а при $|x-a|>1$ значение $t=2|x-a|>2$.

Исходное уравнение принимает вид $t^2+at+a^2-16=0$. Если $t>2$, то каждому допустимому значению $t$ соответствуют ровно два корня $x=a\pm \dfrac{t}{2}$. Значение $t=2$ не подходит, так как тогда имеется бесконечно много значений $x\in[a-1,a+1]$.

Для ровно двух корней $x$ квадратное уравнение по $t$ должно иметь ровно один корень на промежутке $(2,+\infty)$.

Рассмотрим значение многочлена в точке $t=2$: $q(2)=2^2+2a+a^2-16=a^2+2a-12=(a+4)(a-3)$.

Если $-4<a<3$, то $q(2)<0$. Поскольку старший коэффициент положителен, точка $t=2$ лежит между двумя корнями квадратного уравнения. Следовательно, ровно один корень лежит правее $2$, и он даёт ровно два значения $x$.

Граничные значения $a=-4$ и $a=3$ не подходят: при $a=-4$ значение $t=2$ является двойным корнем, а при $a=3$ второй корень равен $-3$, поэтому корней $t>2$ нет.

Осталось рассмотреть случай, когда корни по $t$ совпадают. Дискриминант равен $D=a^2-4(a^2-16)=64-3a^2$. При $D=0$ получаем $a=\pm\dfrac{8}{\sqrt3}$. Для положительного значения параметра двойной корень равен $-a/2<2$ и не подходит. При $a=-\dfrac{8}{\sqrt3}$ двойной корень равен $\dfrac{4}{\sqrt3}>2$ и даёт ровно два значения $x$.