Математика ОГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезки $BO$ и $DO$ равны.$$BO=DO$$

Рассмотрим треугольники $BOK$ и $DOM$. Углы $BOK$ и $DOM$ вертикальные, следовательно, они равны.$$\angle BOK=\angle DOM$$

Так как $AA_1$ — высота треугольника, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $B$, $A_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AA_1B = 90^\circ$.

Так как $BB_1$ — высота, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $A$, $B_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AB_1B = 90^\circ$.

Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $C$ и $D$. Угол $\angle DAC$ является вписанным и опирается на хорду $DC$.

По условию $\angle DBC = \angle DAC$. Следовательно, угол $\angle DBC$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $DC$.

Рассмотрим треугольники $APD$ и $CPB$. Углы $APD$ и $CPB$ — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ADP$ и $CBP$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DB$.$$\angle APD=\angle CPB,\quad \angle ADP=\angle CBP$$

Следовательно, треугольники $APD$ и $CPB$ подобны по двум углам.$$\triangle APD\sim\triangle CPB$$

Поскольку $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, имеем $BB_1 \perp AC$. Поскольку $CC_1$ — высота, имеем $CC_1 \perp AB$.

Луч $AB_1$ лежит на прямой $AC$, а луч $AC_1$ лежит на прямой $AB$. С учётом перпендикулярности высот угол между прямыми $AB_1$ и $B_1C_1$ равен углу $ABC$: $\angle AB_1C_1 = \angle ABC$.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.

Угол $ABD$, опирающийся на диаметр $AD$, прямой: $\angle ABD = 90^\circ$.

Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $BCA$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $BA$.

По условию $\angle BCA = \angle BDA$. Так как четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AB$. Следовательно, точка $D$ также лежит на окружности, проходящей через $A$, $B$ и $C$. Значит…

Так как $N$ — середина стороны $CD$, то $CN = \dfrac{CD}{2}$.

По условию $CD = 2BC$, поэтому $CN = \dfrac{CD}{2} = BC$.

Так как $DL$ — биссектриса угла $D$, точка $L$ равноудалена от прямых $DA$ и $DC$.

Поскольку $AB \parallel CD$ и точка $L$ лежит на $AB$, расстояние от $L$ до прямой $DC$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Обозначим это расстояние через $h$.

Поскольку $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, имеем $AA_1 \perp BC$. Точка $A_1$ лежит на стороне $BC$, поэтому $AA_1 \perp A_1C$ и $\angle AA_1C = 90^\circ$.$$AA_1 \perp A_1C \Rightarrow \angle AA_1C=90^\circ$$

Поскольку $CC_1$ — высота, имеем $CC_1 \perp AB$. Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$, поэтому $CC_1 \perp AC_1$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$.$$CC_1 \perp AC_1 \Rightarrow \angle AC_1C=90^\circ$$

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.$$OA=OC,\quad OB=OD$$

Рассмотрим поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, точка $C$ переходит в точку $A$. Аналогично, точка $B$ переходит в точку $D$.

Обозначим $\angle ABC=\beta$. Поскольку $CC_1$ является высотой, то $CC_1\perp AB$.$$CC_1 \perp AB$$

Угол между прямыми $BC$ и $AB$ равен $\beta$, поэтому угол между прямыми $BC$ и перпендикулярной к $AB$ прямой $CC_1$ равен дополнению угла $\beta$ до $90^\circ$.$$\angle BCC_1=90^\circ-\beta$$

Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $D$. Угол $ABD$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $AD$.

По условию $\angle ABD = \angle ACD$. Следовательно, угол $ACD$ также опирается на тот же отрезок $AD$ и равен вписанному углу $ABD$.

Точки $K$ и $L$ принадлежат окружности с центром $P$, поэтому отрезки $PK$ и $PL$ являются радиусами этой окружности.$$PK = PL$$

Точки $K$ и $L$ также принадлежат окружности с центром $Q$, поэтому отрезки $QK$ и $QL$ являются радиусами этой окружности.$$QK = QL$$

Так как $K$ — середина стороны $BC$, имеем $BK = KC = \dfrac{BC}{2}$. По условию $BC = 2CD$, поэтому $KC = CD$.$$KC = \frac{BC}{2} = CD$$

Следовательно, треугольник $DCK$ равнобедренный с равными сторонами $KC$ и $CD$. Поэтому его углы при основании равны.$$\angle KDC = \angle DCK$$

Пусть внутренняя общая касательная касается первой окружности в точке $A$, второй — в точке $B$, а отрезок $PQ$ пересекает касательную в точке $X$. Для внутренней общей касательной точка $X$ лежит между $P$ и $Q$.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $PA \perp AB$ и $QB \perp AB$. Поэтому треугольники $PAX$ и $QBX$ прямоугольные.

Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $CAB$ является вписанным углом этой окружности, опирающимся на хорду $CB$.

По условию $\angle CDB = \angle CAB$. Следовательно, точка $D$ видит хорду $CB$ под тем же углом, что и точка $A$.

Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырёхугольника $ABCD$. Поэтому по свойству биссектрисы она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $BC$.$$\operatorname{dist}(O,AB)=\operatorname{dist}(O,BC)$$

Точка $O$ также лежит на биссектрисе угла $C$. Следовательно, она равноудалена от сторон угла $C$ — прямых $BC$ и $CD$.$$\operatorname{dist}(O,BC)=\operatorname{dist}(O,CD)$$

Так как $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $A_1$ и $B$ лежат на прямой $BC$, получаем $AA_1 \perp A_1B$, то есть $\angle AA_1B = 90^\circ$.$$\angle AA_1B = 90^\circ$$

Так как $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $B_1$ и $A$ лежат на прямой $AC$, получаем $BB_1 \perp AB_1$, то есть $\angle AB_1B = 90^\circ$.$$\angle AB_1B = 90^\circ$$

Точки $S$ и $T$ лежат на окружности с центром $M$, поэтому отрезки $MS$ и $MT$ являются радиусами этой окружности и равны.$$MS=MT$$

Точки $S$ и $T$ также лежат на окружности с центром $N$, поэтому отрезки $NS$ и $NT$ являются радиусами этой окружности и равны.$$NS=NT$$