Решение: Биссектриса в параллелограмме
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $K$ — середина стороны $BC$, имеем $BK = KC = \dfrac{BC}{2}$. По условию $BC = 2CD$, поэтому $KC = CD$.
$$KC = \frac{BC}{2} = CD$$Следовательно, треугольник $DCK$ равнобедренный с равными сторонами $KC$ и $CD$. Поэтому его углы при основании равны.
$$\angle KDC = \angle DCK$$В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. Так как точки $B$, $K$, $C$ лежат на одной прямой, то $CK \parallel AD$.
$$CK \parallel AD$$Угол $DCK$ равен углу $CDA$, так как их стороны соответственно параллельны: $CK \parallel DA$, а лучи $CD$ и $DC$ лежат на одной прямой.
$$\angle DCK = \angle CDA$$Из равенств углов получаем $\angle KDC = \angle CDA$. Луч $DK$ делит угол $ADC$ на два равных угла, следовательно, является его биссектрисой.
$$\angle KDC = \angle CDA$$Так как $KC = CD$, треугольник $DCK$ равнобедренный, поэтому $\angle KDC = \angle DCK$. Поскольку $CK \parallel DA$, имеем $\angle DCK = \angle CDA$. Следовательно, $\angle KDC = \angle CDA$, значит, $DK$ — биссектриса угла $ADC$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно используют условие $BC = 2CD$ и получают $KC = 2CD$ вместо $KC = CD$.
Забывают обосновать равенство углов в равнобедренном треугольнике.
Неправильно выбирают углы, доказывая, что $DK$ является биссектрисой угла $ADC$.