Решение: Равенство углов в треугольнике
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.
Решение по шагам
4 шагаТак как $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $A_1$ и $B$ лежат на прямой $BC$, получаем $AA_1 \perp A_1B$, то есть $\angle AA_1B = 90^\circ$.
$$\angle AA_1B = 90^\circ$$Так как $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $B_1$ и $A$ лежат на прямой $AC$, получаем $BB_1 \perp AB_1$, то есть $\angle AB_1B = 90^\circ$.
$$\angle AB_1B = 90^\circ$$Углы $AA_1B$ и $AB_1B$ равны $90^\circ$, поэтому точки $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AB$.
В этой окружности углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ являются вписанными и опираются на одну хорду $AB_1$. Следовательно, они равны.
$$\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1$$Точки $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$, поэтому вписанные углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$, опирающиеся на хорду $AB_1$, равны.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указывают прямые, которым перпендикулярны высоты.
Забывают обосновать, почему точки $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ лежат на одной окружности.
Применяют теорему о равенстве вписанных углов без указания общей хорды.