261ФИПИ C0E083№ 23Күрделі Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 9$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $116^\circ$ и…
- 1
Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$.
- 2
Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
262ФИПИ DD14BB№ 23Күрделі Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 30$, $CD = 40$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 20.
- 1
Проведём из центра окружности перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $15$.$$\frac{AB}{2}=\frac{30}{2}=15$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=20^2+15^2=400+225=625,\quad R=25$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
263ФИПИ DF648D№ 23Күрделі Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 20$, $CD = 48$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 24.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Половина хорды $AB$ равна $20 : 2 = 10$.$$R^2 = 24^2 + 10^2$$
- 2
Найдём радиус окружности:$$R^2 = 576 + 100 = 676,\quad R = 26$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
264ФИПИ E5A864№ 23Күрделі Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $66^\circ$ и $84^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $15$.
- 1
Найдём угол $A$ треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-66^\circ-84^\circ=30^\circ$$
- 2
По расширенной теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
265ФИПИ 1F1A22№ 24Күрделі В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ равны. Докажите, что углы $\angle CDB$ и $\angle CAB$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $C$ и $D$. Угол $\angle DAC$ является вписанным и опирается на хорду $DC$.
- 2
По условию $\angle DBC = \angle DAC$. Следовательно, угол $\angle DBC$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $DC$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 11$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $126^\circ$ и…
- 1
Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
- 2
Угол $ABD$, опирающийся на диаметр $AD$, прямой: $\angle ABD = 90^\circ$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
267ФИПИ 367109№ 24Күрделі В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $BCA$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $BA$.
- 2
По условию $\angle BCA = \angle BDA$. Так как четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AB$. Следовательно, точка $D$ также лежит на окружности, проходящей через $A$, $B$ и $C$. Значит…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
268ФИПИ 3AA429№ 24Күрделі В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $D$. Угол $ABD$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $AD$.
- 2
По условию $\angle ABD = \angle ACD$. Следовательно, угол $ACD$ также опирается на тот же отрезок $AD$ и равен вписанному углу $ABD$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
269ФИПИ 40EA31№ 24Күрделі Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.
- 1
Точки $K$ и $L$ принадлежат окружности с центром $P$, поэтому отрезки $PK$ и $PL$ являются радиусами этой окружности.$$PK = PL$$
- 2
Точки $K$ и $L$ также принадлежат окружности с центром $Q$, поэтому отрезки $QK$ и $QL$ являются радиусами этой окружности.$$QK = QL$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $CAB$ является вписанным углом этой окружности, опирающимся на хорду $CB$.
- 2
По условию $\angle CDB = \angle CAB$. Следовательно, точка $D$ видит хорду $CB$ под тем же углом, что и точка $A$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
271ФИПИ 6BB457№ 24Күрделі Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$, причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST$. Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.
- 1
Точки $S$ и $T$ лежат на окружности с центром $M$, поэтому отрезки $MS$ и $MT$ являются радиусами этой окружности и равны.$$MS=MT$$
- 2
Точки $S$ и $T$ также лежат на окружности с центром $N$, поэтому отрезки $NS$ и $NT$ являются радиусами этой окружности и равны.$$NS=NT$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.
- 1
Так как точки $A$, $B$, $M$ лежат на одной прямой, а точки $C$, $D$, $M$ — на другой, углы $\angle BMC$ и $\angle DMA$ являются вертикальными.$$\angle BMC = \angle DMA$$
- 2
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.$$\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
273ФИПИ B32AEC№ 24Күрделі Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.
- 1
Так как точки $C$ и $D$ лежат на окружности с центром $E$, отрезки $EC$ и $ED$ являются радиусами этой окружности.$$EC = ED$$
- 2
Точки $C$ и $D$ также лежат на окружности с центром $F$, поэтому отрезки $FC$ и $FD$ являются радиусами этой окружности.$$FC = FD$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
274ФИПИ C60AED№ 24Күрделі Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Докажите, что прямые $AB$ и $IJ$ перпендикулярны.
- 1
Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $I$, отрезки $IA$ и $IB$ являются радиусами этой окружности. Поэтому $IA=IB$.
- 2
Аналогично, точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $J$, поэтому $JA$ и $JB$ являются радиусами. Следовательно, $JA=JB$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $34$ и $2$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся…
- 1
Расположим трапецию так, чтобы $AD$ было горизонтальным. Пусть $x$ — горизонтальная проекция стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Тогда горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $34-2-x=32-x$.$$AB^2=x^2+h^2=24^2$$
- 2
Пусть углы при основании $AD$ равны $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{32-x}=1$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $33$ и $11$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся…
- 1
Обозначим через $h$ высоту трапеции, а через $x$ — горизонтальную проекцию стороны $AB$ на основание $AD$. Тогда из $AB=20$ получаем:$$x^2+h^2=400$$
- 2
Горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $22-x$, так как разность оснований равна $33-11=22$. Из условия о сумме углов при основании $AD$ следует:$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{22-x}=1$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…
- 1
Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=36+45=81$$
- 2
Прямые $AB$ и $CD$ являются хордами, соединяющими точки касания общих внешних касательных с соответствующими окружностями. Поэтому каждая из этих хорд перпендикулярна линии центров $O_1O_2$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 25$ и $CD = 16$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной…
- 1
Обозначим через $2x$ и $2y$ центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды $AB$ и $CD$.
- 2
По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, угол $AKB$ равен половине суммы дуг $AB$ и $CD$. Поэтому $2x + 2y = 120^\circ$, то есть $x + y = 60^\circ$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно…
- 1
Расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ равно радиусу вписанной окружности, поэтому $r=7$. Обозначим через $\alpha$ половину угла $A$ треугольника $ABC$.$$AO=\frac{r}{\sin\alpha},\qquad \sin\alpha=\frac{7}{25},\qquad \cos\alpha=\frac{24}{25}$$
- 2
Поскольку $AD\parallel BC$, угол между $AO$ и $AD$ равен $\alpha+\angle B$. По условию расстояние от $O$ до $AD$ равно $15$.$$25\sin(\alpha+B)=15,\qquad \sin(\alpha+B)=\frac35$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…
- 1
Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=12+20=32$$
- 2
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общим касательным $AC$ и $BD$. Поэтому отрезки $AB$ и $CD$, соединяющие точки касания на каждой окружности, параллельны друг другу и перпендикулярны общей нормали к касательным.
Ещё 2 қадам — толық шешімде