301ФИПИ B520E8№ 25Высокая В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно…
- 1
Расположим $A$ в начале координат, а прямую $AC$ направим вдоль оси абсцисс. Так как расстояние от $O$ до $AC$ равно $5$, а $OA=13$, координаты точки $O$ можно взять в виде $O=(12,5)$.
- 2
Поскольку $AO$ — биссектриса угла $BAC$, имеем $\sin \angle OAC=\frac{5}{13}$ и $\cos \angle OAC=\frac{12}{13}$. Поэтому направление луча $AB$ задаётся вектором $\left(\frac{119}{169},\frac{120}{169}\right)$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
302ФИПИ BD3655№ 25Высокая В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$…
- 1
Расположим трапецию на координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(10,0)$, $A=(0,h)$, $D=(12,h)$, где $h>0$. Пусть $E=(0,e)$.
- 2
Так как окружность касается прямой $AB$, совпадающей с осью $Oy$, в точке $E$, её уравнение можно записать в виде$$x^2+y^2+ux-2ey+e^2=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
303ФИПИ C6F56B№ 25Высокая В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$…
- 1
Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(7,0)$, $A=(0,h)$, $D=(14,h)$. Пусть $E=(0,e)$.$$AD=14,\quad BC=7$$
- 2
Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(r,e)$, а радиус равен $r$. Поэтому уравнение окружности имеет вид:$$x^2+y^2-2rx-2ey+e^2=0$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
304ФИПИ CE1DA2№ 25Высокая В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$…
- 1
Введём координаты: $B(0,0)$, $C(12,0)$, $A(0,h)$, $D(14,h)$, где $h=AB$. Пусть $E(0,e)$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(k,e)$, а радиус равен $|k|$.$$AD=14,\quad BC=12$$
- 2
Так как точка $C$ лежит на окружности, получаем:$$(12-k)^2+e^2=k^2$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
305ФИПИ E4D760№ 25Высокая В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $48$ и $24$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся…
- 1
Пусть $E$ и $F$ — основания высот из точек $B$ и $C$ на прямую $AD$. Обозначим $AE=x$, тогда $DF=24-x$, поскольку $AD-BC=48-24=24$. Высоту трапеции обозначим через $h$.$$AB^2=x^2+h^2=169$$
- 2
Тангенсы углов при основании $AD$ равны $\dfrac{h}{x}$ и $\dfrac{h}{24-x}$. Так как сумма этих углов равна $90^\circ$, произведение тангенсов равно единице.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{24-x}=1\quad\Rightarrow\quad h^2=x(24-x)$$
Ещё 4 шага — в полном решении
306ФИПИ EE7854№ 25Высокая В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $32$ и $24$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся…
- 1
Пусть $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, а $BH=h$. Обозначим $AH=x$. Так как разность оснований равна $32-24=8$, то горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $8-x$.$$AB^2=x^2+h^2=49$$
- 2
Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{8-x}=1$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
307ФИПИ 057560Высокая
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…
- 1
Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=25+100=125$$
- 2
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны общим касательным. Поэтому хорды $AB$ и $CD$, соединяющие пары точек касания, перпендикулярны линии центров и параллельны друг другу.
Ещё 2 шага — в полном решении
308ФИПИ 0F4C38Высокая
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 19$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $95^\circ$ и…
- 1
Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
- 2
Вписанный угол $\angle ABC=95^\circ$ опирается на дугу $ADC$, поэтому эта дуга равна $190^\circ$. Так как дуга $AD$ по полуокружности равна $180^\circ$, дуга $DC$ равна $10^\circ$.
Ещё 4 шага — в полном решении
309ФИПИ 141DCAПовышенная
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 16 и 12.
- 1
Проведём из центра окружности перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $12$.$$\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=16^2+12^2=256+144=400,\quad R=20$$
Ещё 2 шага — в полном решении
310ФИПИ DFC86BВысокая
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно…
- 1
Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=7$. Так как $AO=25$, а $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, для половины угла $A$ получаем:$$\sin\frac{A}{2}=\frac{7}{25},\qquad \cos\frac{A}{2}=\frac{24}{25}$$
- 2
Прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Точка $O$ находится между ними, а расстояния от $O$ до этих прямых равны соответственно $17$ и $7$. Поэтому высота параллелограмма равна:$$h=17+7=24$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
311ФИПИ E1451BПовышенная
Используя приведённый материал, найдите, на сколько миллиметров увеличится диаметр колеса при замене шин 165/70 R13 на шины 195/50 R15.
- 1
Найдём диаметр колеса с заводской шиной 165/70 R13. Высота боковины равна $165 \cdot 0{,}70 = 115{,}5$ мм.$$D_1 = 13 \cdot 25{,}4 + 2 \cdot 115{,}5 = 561{,}2\ \text{мм}$$
- 2
Найдём диаметр колеса с шиной 195/50 R15. Высота боковины равна $195 \cdot 0{,}50 = 97{,}5$ мм.$$D_2 = 15 \cdot 25{,}4 + 2 \cdot 97{,}5 = 576\ \text{мм}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении